[答769] 正十五角形７個

[答769] 正十五角形７個


　面積が A の正十五角形があり、その頂点を１個おき，２個おき，３個おき，４個おき，５個おき，６個おきに

　つないだ対角線 15 本で中央にできる正十五角形の面積をそれぞれ、B，C，D，E，F，G とします。

　S＝A＋B＋C＋D＋E＋F＋G とすると、 E/S＝？


[解答]

　もとの正十五角形の外接円の半径を r とすると、中心からそれぞれの正十五角形の辺までの距離は、

　r･cos12ﾟ，r･cos24ﾟ，r･cos36ﾟ，r･cos48ﾟ，r･cos60ﾟ，r･cos72ﾟ，r･cos84ﾟ になり、

　相似比は cos12ﾟ：cos24ﾟ：cos36ﾟ：cos48ﾟ：cos60ﾟ：cos72ﾟ：cos84ﾟ です。

　従って、A：B：C：D：E：F：G＝cos²12ﾟ：cos²24ﾟ：cos²36ﾟ：cos²48ﾟ：cos²60ﾟ：cos²72ﾟ：cos²84ﾟ

　 ＝(1＋cos24ﾟ)：(1＋cos48ﾟ)：(1＋cos72ﾟ)：(1＋cos96ﾟ)：(1＋cos120ﾟ)：(1＋cos144ﾟ)：(1＋cos168ﾟ) 、

　E/S＝(1＋cos120ﾟ)/(7＋cos24ﾟ＋cos48ﾟ＋cos72ﾟ＋cos96ﾟ＋cos120ﾟ＋cos144ﾟ＋cos168ﾟ) です。

　ここで、P＝cos24ﾟ＋cos48ﾟ＋cos72ﾟ＋cos96ﾟ＋cos120ﾟ＋cos144ﾟ＋cos168ﾟ とおけば、

　2Psin24ﾟ

　 ＝2cos24ﾟsin24ﾟ＋2cos48ﾟsin24ﾟ＋2cos72ﾟsin24ﾟ＋2cos96ﾟsin24ﾟ＋2cos120ﾟsin24ﾟ
　　＋2cos144ﾟsin24ﾟ＋2cos168ﾟsin24ﾟ

　 ＝sin48ﾟ－sin0ﾟ＋sin72ﾟ－sin24ﾟ＋sin96ﾟ－sin48ﾟ＋sin120ﾟ－sin72ﾟ＋sin144ﾟ－sin96ﾟ
　　＋sin168ﾟ－sin120ﾟ＋sin192ﾟ－sin144ﾟ

　 ＝－sin0ﾟ－sin24ﾟ＋sin168ﾟ＋sin192ﾟ＝－sin24ﾟ 、P＝－1/2 になります。

　よって、E/S＝(1＋cos120ﾟ)/(7－1/2)＝(1－1/2)/(7－1/2)＝1/13＝0．076923…… です。


[参考]

　ｎを奇数として、P＝cos(2π/n)＋cos(4π/n)＋cos(6π/n)＋……＋cos｛(n－1)π/n｝ ，

　z＝cos(2π/n)＋i･sin(2π/n) ，Q＝z＋z²＋z³＋……＋z^n-1 とすれば、

　Q の実部が 2P と等しくなります。

　1＋Q＝(1－zⁿ)/(1－z)＝(1－1)/(1－z)＝0 、Q＝－1 、2P＝－1 、P＝－1/2 です。

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