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[答769] 正十五角形7個

ヤドカリ

ヤドカリ



[答769] 正十五角形7個


 面積が A の正十五角形があり、その頂点を1個おき,2個おき,3個おき,4個おき,5個おき,6個おきに

 つないだ対角線 15 本で中央にできる正十五角形の面積をそれぞれ、B,C,D,E,F,G とします。

 S=A+B+C+D+E+F+G とすると、 E/S=?


[解答]

 もとの正十五角形の外接円の半径を r とすると、中心からそれぞれの正十五角形の辺までの距離は、

 r・cos12゚,r・cos24゚,r・cos36゚,r・cos48゚,r・cos60゚,r・cos72゚,r・cos84゚ になり、

 相似比は cos12゚:cos24゚:cos36゚:cos48゚:cos60゚:cos72゚:cos84゚ です。

 従って、A:B:C:D:E:F:G=cos212゚:cos224゚:cos236゚:cos248゚:cos260゚:cos272゚:cos284゚

  =(1+cos24゚):(1+cos48゚):(1+cos72゚):(1+cos96゚):(1+cos120゚):(1+cos144゚):(1+cos168゚) 、

 E/S=(1+cos120゚)/(7+cos24゚+cos48゚+cos72゚+cos96゚+cos120゚+cos144゚+cos168゚) です。

 ここで、P=cos24゚+cos48゚+cos72゚+cos96゚+cos120゚+cos144゚+cos168゚ とおけば、

 2Psin24゚

  =2cos24゚sin24゚+2cos48゚sin24゚+2cos72゚sin24゚+2cos96゚sin24゚+2cos120゚sin24゚
  +2cos144゚sin24゚+2cos168゚sin24゚

  =sin48゚-sin0゚+sin72゚-sin24゚+sin96゚-sin48゚+sin120゚-sin72゚+sin144゚-sin96゚
  +sin168゚-sin120゚+sin192゚-sin144゚

  =-sin0゚-sin24゚+sin168゚+sin192゚=-sin24゚ 、P=-1/2 になります。

 よって、E/S=(1+cos120゚)/(7-1/2)=(1-1/2)/(7-1/2)=1/13=0.076923…… です。


[参考]

 nを奇数として、P=cos(2π/n)+cos(4π/n)+cos(6π/n)+……+cos{(n-1)π/n} ,

 z=cos(2π/n)+i・sin(2π/n) ,Q=z+z2+z3+……+zn-1 とすれば、

 Q の実部が 2P と等しくなります。

 1+Q=(1-zn)/(1-z)=(1-1)/(1-z)=0 、Q=-1 、2P=-1 、P=-1/2 です。

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Comments 15

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
松代のブーゲンビリアが綺麗ですネ
此の色を見かけるのは少ないですネ
ナイス☆彡

さっちゃんこ  
No title

ごめんなさい
松代でなく真っ白の間違いです

amo*i20*4  
No title

ああ、なるほど。参考の説明で、
Σ(con(mπ/n))^2 = n (ただしm=0~2n-1)となることがようやくわかりました。ありがとうございます。

#最後の式の三番目の分子は(1-1)のtypoですね。

樹☆  
No title

おはようございます
純白のブーゲンビリアすてきです。。
あまり見たことがありません。ありがとうございます
ナイスです。

ひとりしずか  
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数年前仙台で1度見たきりです(こちらでは会ったことなくて~)
これだけ花の部分が分かる撮り方見ないですよ
Nice☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
そっかぁ...辺までの距離でもよかったんだわ…^^;
これは諦めちゃいましたが…Orz…
参考の考え方がわかりやすいですね♪
ただ…
Qの実部はPですよね…
Pは…1+Q=0…P=-1
で…求めるものはx軸に対称なものだけなので…P/2=-1/2
と理解しましたぁ ^^ Orz~

tsuyoshik1942  
No title

式を立てるまではすんなりいったのですが、実際の三角関数の計算で往生しました。
「764」も読み直したのですが、複素数は、結局使えませんでした。本題と合わせ勉強させていただきます。
やみくもに、加法定理や積和公式をいじっていたら、いつか整数の答えが出てきました。

ニリンソウ  
No title

ブーゲンビリア昨日は赤、今日は白ね
どちらも中心に咲く本当の花は白だったんですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
白のブーゲンビリアはあまり見ることはありませんが、
たまたま見られたので写真に撮りました。

ヤドカリ  
No title

amo*i20*4さん、早速のコメントとタイプミスの指摘を有難うございます。
さっそく訂正いたしました。
複素数を使えば、三角関数の性質がよく分かることがあります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
白のブーゲンビリアは私もあまり見ることはありませんが、
出会えた時は嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
珍しい色だと思います。
写真で花の部分が際立ってくれたのはラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
[参考]の1行目に不備があり、誤解させてしまいました。
さっそく訂正いたしました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
複素数を使って、三角関数の計算をすることはよくあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
花は本当は白だったのですね。
でもやはりブーゲンビリアはピンクのイメージが強いです。