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[答771] 四面体と内部の点

ヤドカリ

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[答771] 四面体と内部の点


 図のように 四面体ABCDの 辺AB,CD,AC,BD,AD,BC 上にそれそれ 点P,Q,R,S,T,U があり、

 PQ,RS,TU が 四面体ABCDの内部の点Xで交わっています。

 AXを平面BCDまで延長し、交点をYとします。

 PX:XQ=7:6,RX:XS=8:5,TX:XU=2:1 のとき、XY は AX の何倍?


[解答1]

 太字はベクトルを表すものとします。

 AP=pABCQ=qCD とすれば、AQ=(1-q)AC+qAD

 PX:XQ=7:6 だから、AX=(6AP+7AQ)/13=(6p/13)AB+(7/13-7q/13)AC+(7q/13)AD

 AR=rACDS=sDB とすれば、AS=(1-s)AD+sAB

 RX:XS=8:5 だから、AX=(5AR+8AS)/13=(8s/13)AB+(5r/13)AC+(8/13-8s/13)AD

 AT=tADBU=uBC とすれば、AU=(1-u)AB+uAC

 TX:XU=2:1 だから、AX=(AT+2AS)/3=(2/3-2u/3)AB+(2u/3)AC+(t/3)AD です。

 ここで、ABACAD は1次独立なので、

 8s/13=2/3-2u/3 ,2u/3=7/13-7q/13 ,7q/13=8/13-8s/13 となって、

 これを解けば、q=19/42,s=29/48,u=23/52 ですので、

 AX=(29/78)AB+(23/78)AC+(19/78)AD になります。

 よって、AX:AY=(29/78+23/78+19/78):1=71:78 、AX:XY=71:7=1:7/71 、7/71 倍です。


[解答2]

 四面体ABCDの 直線ABに垂直な平面への正射影を考えれば、

 AX,PX が重なりますので、その延長にある B,Y,Q は一直線上にあります。

 四面体XBCD,XACD,XABD,XABC の体積をそれぞれ a,b,c,d とすれば、

 △YCD:△YBD:△YBC=四面体XACD:四面体XABD:四面体XABC=b:c:d になり、

 BY:YQ=(△YBC+△YBD):△YCD=(d+c):b であり、

 CQ:QD=△YBC:△YBD=d:c であるのと同様に AP:PB=b:a です。

 △PBQと直線AYでメネラウスの定理により、(PA/AB)(BY/YQ)(QX/XP)=1 、

 PX/XQ=(PA/AB)(BY/YQ)={b/(b+a)}{(d+c)/b}=(d+c)/(b+a) 、

 PX:XQ=(c+d):(a+b) 、PX/PQ=(c+d)/(a+b+c+d) 、

 同様にして、RX/RS=(b+d)/(a+b+c+d) ,TX/TU=(b+c)/(a+b+c+d) です。

 従って、2(b+c+d)/(a+b+c+d)=PX/PQ+RX/RS+TX/TU 、

 2・AX/AY=PX/PQ+RX/RS+TX/TU=7/(7+6)+8/(8+5)+2/(2+1)=71/39 、AX/AY=71/78 、

 AY/AX=78/71 、XY/AX=7/71 です。

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Comments 17

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
白いですね、肉厚の感じもします野菜の花でしょうか?
どんな実が出来るのかな?

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
余り見たことがないのですが瓢箪の花でしょうか
真っ白の花が良いですネ
ナイス☆彡

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

真っ白で 布でできたような可愛い花ですね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これは...ベクトルで考える問題だと思うもそれが使えない体たらく…
[解答2]は前半部の発想が面白いですね☆
後半部は熟読玩味ぃ…^^;
いくらでも再勉強しなきゃいけないことが累々のわたし…^^;
Orz~

Yasuko  
No title

おはようございます(^^♪

なんの花でしょう(^_^;)

ガガブタに見えるのですが
多分間違ってると思います^^;

ハイス☆彡

uch*n*an  
No title

これはなかなか面白い問題でした。特に,2 * AX/AY = PX/PQ + RX/RS + TX/TU,が美しい。
私の解法は二つ。どちらもまずは一般的に解きました。
(解法1)は[解答2]とは違う初等幾何。メネラウスの定理やチェバの定理を駆使する解法です。
もっとも,Y が BQ,CS,DU の交点になることから,以前に,
BY/YQ * CY/YS * DY/YU = BY/YQ + CY/YS + DY/YU + 2
になることを導いたことがあるので,それを使ってみたかった,ということもあります。
(解法2)は[解答1]を一般的にした感じのベクトルによる解法です。
体積比を使う[解答2]は思い付きませんでした。興味深い解法ですね。勉強になります。

tsuyoshik1942  
No title

ベクトルが使えず、メネラウスも使い道が分からず苦戦しました。
結局自分は、インチキくさいですが、4面体を特殊化し考えました。

A(000),B(100),C(010),D(001)におき、PX/PQ=i、RX/RS=j、TX/TU=kとすると、
AB上のP点とCD上のQ点を一定比(i)で内分する点は、Y軸、Z軸の切片が(i)で、X軸に平行な面(Y/i+Z/i=1)上にある。
他の2面は同様に(Z/j+X/j=1)、(X/k+Y/k=1)
この3面の交点を求め(計算略)、究極、問い答XY/AXの一般解{XY/AX=(i+j+k)/(2-(i+j+k))}を得ました。(この式は、uchinyanさんのコメントの冒頭の式と同意だとおもいます)

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
野菜と言えるかどうか分かりませんが、瓢箪の花です。
このような花は区別が難しいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
よくご存知ですね。瓢箪の花です。
このような形の花は黄色が多いですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
仰るように、白い布のようですね。
瓢箪の花でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
一見してベクトルの問題ですね。
初等幾何を上手く組み合わせると計算が楽になります。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントを有難うございます。
ガガブタの小さな花もいいですね。
ガガブタの方は水面に咲くので涼しげです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
初等幾何はかなりの工夫が必要と思います。
私はまず面積比や体積比を意識します。
見落としやすいからです。
それにしても、結果が綺麗な式になりますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
1次変換しても内分点・外分点は同じ比の内分点・外分点に移ります。
この性質が分かっていると特殊化しても答は出ますね。
ただ、(i+j+k)/(2-(i+j+k)) は 分子・分母が逆です。
出題記事のリコメに、
「一般化すると AX/XY はそのようになりますね。」
と、書いておきました。

ヤドカリ  
No title

> 2014/8/7(木) 午前 3:14の鍵コメ様
ご指摘を有難うございました。

樹☆  
No title

わぁ瓢箪の花ですか?
可愛い花を咲かせるのですね^^
瓢箪 見直した!!笑

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
このような花は、花を見てどんな実になるのか、知っていないと判断できません。
実の方が分かり易いですね。