FC2ブログ

Welcome to my blog

[答774] 約数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答774] 約数の和


 ある自然数の正の約数のうち、偶数のものの総和が 248248,3の倍数のものの総和が 245520 のとき、

 この自然数は?


[解答]

 一般に、自然数 n の正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

 また、求める自然数を n=2a・3b・m (m と 6 は互いに素) とし、

 A=S(2a)=2a+1-1 ,B=S(3b)=(3b+1-1)/2 とします。

 (A-1)B・S(m)={(A-1)/A}・AB・S(m)=248248 ,A(B-1)・S(m)={(B-1)/B}・AB・S(m)=245520 より

 (A-1)/A:(B-1)/B=248248:245520=91:90 、90(A-1)/A=91(B-1)/B 、

 90(A-1)B=91(B-1)A 、-AB+91A-90B=0 、(A+90)(91-B)=8190 、(A+90)(182-2B)=16380 、

 A=2a+1-1 ,B=(3b+1-1)/2 だから、(2a+1+89)(183-3b+1)=16380 、(2a+1+89)(61-3b)=5460 、

 61-3b は 5460=22・3・5・7・13 の正の約数だから、

 61-31=58 ,61-32=52 ,61-33=34 のうち、61-32=52 だけで、b=2 です。

 よって、2a+1+89=105 、2a+1=16 、a=3 、A=15,B=13 です。

 (A-1)B・S(m)=248248 、14・13・S(m)=248248 、S(m)=1364=22・11・31 です。

 ここで、p を5以上の素数として、

 1364 の約数 1,2,4,11,22,31,44,62,124,341,682,1364 のうち、

 1+p+p2+……+pk の形で表されるのは、31=1+5+52 ,44=1+43 ,62=1+61 だけですので、

 m=52・43 のときの S(m)=31・44=1364 だけが適します。

 従って、n=2a・3b・m=23・32・52・43=77400 です。

.

スポンサーサイト



Comments 7

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

タカサゴユリのように思いますが・・・
テッポウユリと同じ高貴な感じのするユリです
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

タカサゴユリの季節は初秋の匂いでしょうか。
野生と言うけど姿も良くて好きですよ。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
予想外にややこしいものですね ^^;
わたしゃ半ば勘(それしかないことは言えてないかも…?)で…Orz...

248248=2*(2^a-1)*m
124124=2^2*7*11*13*31=(2^a-1)*m
2^a-1=1 or 7 or 31…2 or 2^3 or 2^5
13=1+3+3^2

245520=3*(3^b-1)/2 *m
81840*2=2^5*3*5*11*31=(3^b-1)*m
3^b-1=2, 2^3, 2^4*5…3 or 3^2 or 3^4
3*5=1+2+2^2+2^3

2^3*3^2=15*13*m
14*13*m=248248…m=1364
15*12*m=245520…m=1364・・・ビンゴ ^^
1364=2^2*11*31
31=1+5+5^2
44=1+43
2^3*3^2*5^2*43=77400

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るように、タカサゴユリです。
この百合はすっきりした出で立ちが魅力です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
整数問題は答が複数あるものも多く、面倒なこともよくあります。
基本はみなさん分かっていますが、あとどのように検討するかです。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
タカサゴユリと鉄砲ユリ 花の感じは良く似ていますね
花だけを見ると鉄砲ユリと間違いそうです
ナイス☆彡

樹☆  
No title

すてきですねぇ~
やはり百合の美しさは立ち姿ですね
白いお花が凛として美しいです。