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[答775] 3つの袋に碁石を入れる場合の数

ヤドカリ

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[答775] 3つの袋に碁石を入れる場合の数


 赤・青・紫の袋が1つずつと黒の碁石60個があります。

 このとき、どの袋にも奇数個の碁石を入っているようにする方法は何通り?

 ただし、碁石が余ってもよいものとし、袋の中に袋を入れても良いものとします。

 例えば、赤の袋に3個、青の袋に6個、紫の袋に7個を入れて、更に、赤の袋を青の袋に入れると、

 赤の袋に3個、青の袋に9個、紫の袋に7個が入っていることになり、条件に合います。

 また、袋は十分に大きいものとします。


[解答1]

 図Aのような場合、

  最初に各袋に1個ずつ入れておいて、残り57個を偶数個ずつ入れる場合の数を求めます。

  1●●2●●3●………●27●●28●●29● の 1~29 から重複を許して3個を選び、

  そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

  最初の区切りの左の碁石を赤の袋,最初と2番目の区切り間の碁石を青の袋,

  2番目と3番目の区切りの間の碁石を紫の袋に入れます。

  その方法は、293 通りあります。

 図Bのような場合、外の袋の色の決め方が 3通り、残り57個を、

  1●●2●●3●………●27●●28●●29● の 1~29 から重複を許して3個を選び、

  そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

  その方法は、3・293 通りあります。

 図Cのような場合、外の袋・内の袋の色の決め方が 6通り、残り58個を、

  1●●2●●3●………●27●●28●●29●●30 の 1~30 から重複を許して3個を選び、

  そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

  その方法は、6・303 通りあります。

 図Dのような場合、外の袋・中の袋・内の袋の色の決め方が 6通り、残り59個を、

  1●●2●●3●………●27●●28●●29●●30● の 1~30 から重複を許して3個を選び、

  そこを区切りとして、赤・青・紫の袋に入れます。

  その方法は、6・303 通りあります。

 従って、(1+3)・293+(6+6)・303

  =4・4495+12・4960=77500 通りです。


[解答2]

 一般に、x+y+z≦n をみたす 0以上の整数の組は、0○1○2○3○4○………○n の 0~n から

 重複を許して3個の区切りを選び、最初の区切りの左の○の数を x ,最初と2番目の区切り間の○の数を y ,

 2番目と3番目の区切りの間の○の数を z とすればよいので、n+13 通りあります。

 袋の中に袋を入れない状態で、赤の袋にx個、青の袋にy個、紫の袋にz個を入れるものとすれば、

 x+y+z≦60 を満たし、613=39711 通りあります。

 そのうち、x,y,z がすべて偶数であるものは、x=2a,y=2b,z=2c とすれば、

 2a+2b+2c≦60 、 a+b+c≦30 、313=5456 通りです。

 また、x,y,z がすべて奇数であるものは、x=2a+1,y=2b+1,z=2c+1 とすれば、

 2a+1+2b+1+2c+1≦60 、 a+b+c≦28 、293=4495 通りです。

 よって、x,y,z に偶数も奇数も含まれているのは 39711-5456-4495=29760 通りです。

 3個の袋とも奇数個の碁石が入っているときは、

 図Aまたは図Bで、図Bで外の袋の色の決め方も考え 4通りずつ、

 1個の袋だけに偶数個の碁石が入っているときは、図Cで内の袋の色の決め方も考え 2通りずつ、

 1個の袋だけに奇数個の碁石が入っているときは、図Dで外の袋の色の決め方も考え 2通りずつ、

 偶数個の碁石が入った袋も奇数個の碁石が入った袋もあるのは、いずれも 2通りずつです。

 もちろん、3個の袋とも偶数個の碁石が入っているときは条件に合わせることができません。

 よって、4・4495+2・29760=77500 通りです。

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Comments 16

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ひとりしずか  
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終戦の日に・・・追悼

樹☆  
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おはようございます
今日という日にふさわしいお花です。
特に純白にはこころを清められる想いです。

安倍総理・・終戦の日にもう一度「日本国憲法」を
鑑みてくださいと言いたいです。

さっちゃんこ  
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おはようございます
終戦記念日の今日 戦争で亡くなった御霊への供養の花になりますね

真っ白の汚れなき色に心が洗われます

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

清らかなハスの花ですね。

こんな花をみたら誰もが争いなんてばかばかしいと
思うでしょう。
この花に向ける眼を持ってほしいですね

ナイス

tsuyoshik1942  
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東京で空襲を受け、疎開しました。3歳でした。

いくつかの断片的な記憶があります。
(もしかしたら、後から植えつけられた映像かもしれませんが)

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
わたしにゃ複雑すぎる問題で…
解答1のようにきちんと整理して考えられもせず…^^;
but…解答2もどきに思い至るも...これまたきっちり詰められず…^^;;
タイムアップとなりにけり…Orz~
熟読玩味ぃ~☆

tsuyoshik1942  
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「解答」を読ませていただき、納得できました。
後日、類題に接した時、適用できると良いのですが!

本題は、4形態・12種類の袋の有り方はすんなり思い描けたのですが、碁石の配分4495と4960が出てきませんでした。
この部分をPCの力を借り計算したら、77500をはじき出したので、直ちに解答送信させていただきました。
その後、区分け数え上げの筆算手法で4495と4960は確認しましたが、これらは31C3および32C3と意味ありの数値なのに、それをとらえることができず、イラついておりました。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
終戦の日ですね。
多くの人の犠牲の上に今の世の中があるのですね。

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
蓮の花は泥の中にあって綺麗な花を咲かせますね。
終戦記念日です。戦争の泥沼からは蓮の花も咲きません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
終戦記念日、無念の思いで戦いに散った人々に合掌。
ご先祖様にも感謝する日でもありますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
当時の指導者が清らかな華をみて、
平和な気持ちになっていればよかったですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
やはり貴殿は1942年生まれなのですね。
戦後生まれの私には分かりませんが、
貴殿の記憶には残っているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
複雑に見えてもパターンが少ないで何とかなる問題です。
気持ちを落ち着けて考えると大丈夫です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、再度のコメントを有難うございます。
解答説明で納得頂ければ、有難いことです。
整数解の個数を求めるのにCとHをよく使います。

アキチャン  
No title

ハスのお花は本当に心が あらわれます。
素敵に撮れてますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
お久しぶりです。
ハスの出で立ちが気持ちも浄化しそうです。