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[答776] 数列とその和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答776] 数列とその和


 ‖1/6,2/6,3/6‖4/6,5/6,6/6,7/6,8/6‖9/6,10/6,11/6‖12/6‖13/6,14/6,15/6‖16/6,……

 は、(自然数)/6 の形の数を小さい順に並べたものに対して、

 1/6 の手前にまず「‖」を入れ、1/6 からの和が初めて自然数になる 3/6 の後に「‖」を入れ、

 「‖」の次の数からの和が初めて自然数になる数の後に「‖」を入れ、……

 を繰り返したもので、「‖」の間の和は順に 1,5,5,2,7,…… となります。

 この自然数の並びを数列と見なすとき、初項から第32項までの最大の値は?

 また、初項から第32項までの和は?

 ただし、「和」については、数が1個だけでも「和」と見なすことにします。


[解答1]

 ‖1/6,2/6,3/6‖4/6,5/6,6/6,7/6,8/6‖9/6,10/6,11/6‖12/6‖ の 12個を1組とすれば、

 その和は 1,5,5,2 であり、

 次の ‖13/6,14/6,15/6‖16/6,……,23/6‖24/6‖ は それぞれの分数が2だけ大きいので、

 その和は 1+2・3,5+2・5,5+2・3,2+2 、すなわち 7,15,11,4 です。

 よって、k=0,1,2,…… として、 1+6k,5+10k,5+6k,2+2k が続くことになり、

 初項から第32項まででは k=0,1,2,……,7 なので、最大の数は 5+10・7=75 です。

 また、4項の和は (1+6k)+(5+10k)+(5+6k)+(2+2k)=13+24k なので、

 初項から第32項までの和は 13・8+24(0+1+2+……+7)=776 です。


[解答2]

 まず、1/6+2/6+3/6+……+N/6=N(N+1)/12 になります。

 N(N+1)/12 が自然数になるのは、次の2つの場合です。

 N,N+1 のいずれかが 3の奇数倍で他方が4の倍数( N≡3 (mod 12) または N+1≡9 (mod 12) ) ,

 N,N+1 のいずれかが 12の倍数の場合( N≡0 (mod 12) または N+1≡0 (mod 12) ) .

 自然数 k を用いて、前者は n=12k-9,n=12k-4 、後者は n=12k-1,n=12k の形で表されます。

 また、N(N+1)/12 の直前に自然数になるものを n(n+1)/12 として差をとれば、

 N(N+1)/12-n(n+1)/12=(N-n)(N+n+1)/12 です。

 N=12k-9,n=12(k-1) のとき (N-n)(N+n+1)/12=3(24k-20)/12=6k-5 、

 N=12k-4,n=12k-9 のとき (N-n)(N+n+1)/12=5(24k-12)/12=10k-5 、

 N=12k-1,n=12k-4 のとき (N-n)(N+n+1)/12=3(24k-4)/12=6k-1 、

 N=12k,n=12k-1 のとき (N-n)(N+n+1)/12=1・24k/12=2k です。

 (6k-5,10k-5,6k-1,2k) に、k=1,2,3,4,…… と代入したものが求める数列で、

 (1,5,5,2),(7,15,11,4),(13,25,17,6),(19,35,23,8),…… が得られます。

 第32項までの最大の値は k=8 のときの 10k-5 で、10k-5=75 です。

 また、第32項までの和は k=8,N=12k=96 のときの N(N+1)/12 で、N(N+1)/12=776 です。


[参考]

 この数列の第n項は {3-in-(-i)n}{6n+in+1+(-i)n+1}/12 で表されます。

 第30項は {3-i30-(-i)30}{6・30+i31+(-i)31}/12=(3+1+1)(180-i+i)/12=75 です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
No title

ナツズイセンですね
ヒガンバナに似ているような~
有毒なんですね・・
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ナツズイセンが綺麗ですネ
此方でも漸く咲き出しています
夏の花が少ない時期に綺麗に咲かせてくれてありがたいですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヒガンバナというよりインドハマユウに似ていると私は思います。
美しい花ですが、毒がありますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
多くの花が当方より早く咲き出す其方で遅いのは珍しいですね。
仰るように、花の少ない時期の花は有難いです。

ニリンソウ  
No title

ナツスイセンも彼岸花科
これがオレンジならキツネノカミソリだと思います?

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいいピンク色のお花はどれも好きです(o^-^o)
また、再開しましたのでよろしくお願いします。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]のように考えて…but...書き出し ^^;
それにしても一般項の式は複雑怪奇ね…^^;;
[解答1]がスマートでしたか☆
どんどこ面白い問題を思いつかれる貴殿に驚愕です!!♪

tsuyoshik1942  
No title

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24
.
.
85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96
と、12*8=96個を書き連ね、考えました。

いろいろと面白い問題に対面でき、うれしいです。

uch*n*an  
No title

同じことですが,また好みもありますが,
[参考]の一般項は
((3 - 2cos(nπ/2))n - sin(nπ/2))/2
の方が計算しやすいかも知れません。
要は,周期 4 をどう表すか,ですかね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
そうですね。キツネノカミソリに形が似ていますね。
色の差はオニユリとカノコユリでしょうか。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
可愛いピンクの花と言えば、アキチャンさんの好きなレインリリーでしょうか。
こちらこそ、よろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
下に tsuyoshik1942 さんが書いてくれている方法が一番考え易いですね。
周期的な変化をするものの一般項はあまり綺麗な式にならないことが多いです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
なかなか問題を思いつかないことも、何となく浮かぶこともあります。
この問題は、貴殿のように書き出すのが考えやすいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
成程、三角関数を使うという手立てもありますね。
好みの問題だと私も思います。
複雑で実際は計算しませんでしたが、Σ計算が頭にあったので、
三角関数は想定外でした。

樹☆  
No title

こんばんは
ナツズイセン・・響きがすてきです。
色合いも私好みです^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
ナツズイセンの色は樹ちゃんの名前アイコンの色ですね。
冬の水仙もそうですが、花の少ない時期に嬉しいでs。