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[答777] 階乗の末尾の0の数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答777] 階乗の末尾の0の数


 nを自然数として、n! を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数を f(n) で表すことにします。

 例えば、10!=3628800 だから f(10)=2 です。

 この定義で f(n) の値にならない自然数を小さい順に並べると、

 5,11,17,23,29,30,36,42,48,54,60,61,67,73,79,85,91,92,98,…… ですが、

 はじめて連続自然数になるのは 5番目の 29 からの2個です。

 また、はじめて3連続自然数になるのは 29番目の 153 からの3個です。

 では、はじめて4連続自然数になるのは 何番目のいくらからの4個?


[解答]

 n! を素因数分解すするとき、「2」の個数は「5」の個数以上なので、

 末尾に並ぶ 0 の個数は、素因数分解したときの「5」の個数に等しくなり、

 f(n)=[n/5]+[n/52]+[n/53]+[n/54]+[n/55]+[n/56]+…… です。

 また、(n-1)! より n! の末尾に 0 が増えるのは、nが5の倍数のときで、

 nが 5k の倍数で 5k+1 の倍数でないとき、f(n)=f(n-1)+k になります。

 このとき、f(n)の値にならない自然数が (k-1)個並ぶことになります。

 よって、nが 55=3125 の倍数であるときの f(n) の直前の4個の自然数で、

 f(3125)=[55/5]+[55/52]+[55/53]+[55/54]+[55/55]=625+125+25+5+1=781 だから、

 最初のものは、777,778,779,780 で、先頭は 777 です。

 f(n)の値になる自然数の個数は [n/5] 個で、f(3124)=776 だから、

 ここまでに、f(n)の値にならない自然数の個数は 776-[3124/5]=776-624=152 個だから、

 はじめて4連続自然数になるのは 153番目の 777 からの4個です。 

 もちろん、55 以下に、f(n)の値になる自然数の個数は 54 個、

 f(n)の値にならない自然数の個数は f(55)-54=781-625=156 個、

 780 が 156番目だから 777 は 153番目、としても求められます。


[参考]

 はじめてN連続自然数になるのが 何番目のいくらからのN個かを求めます。

 f(5N+1)=5N+5N-1+……+1=(5N+1-1)/4 の直前のN個の自然数で、

 (5N+1-1)/4-N からで、

 5N+1 以下に、f(n)の値になる自然数の個数は 5N 個、

 f(n)の値にならない自然数の個数は

 f(5N+1)-5N=(5N+1-1)/4-5N=(5N-1)/4 個、

 (5N+1-1)/4-1 が (5N-1)/4 番目だから、

 (5N+1-1)/4-N は (5N-1)/4-(N-1) 番目 になります。

 F(N)=(5N-1)/4-(N-1) とすれば、

 はじめてN連続自然数になるのは F(N) 番目の F(N+1) からのN個です。

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Comments 15

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
きれい♪ 目が覚めました(o^-^o)

樹☆  
No title

わぁ~白鹿の子百合だぁ~~
すてきですね。。ほんとにべっぴんさんです。

おはようございます
晴れたら猛暑
雨なら大雨・・少し控えめにとお願いしたいです。

ニリンソウ  
No title

白でもカノコユリ?
そうなんだ~~見たことないかも!
ナイス
残暑厳しいですね。

ひとりしずか  
No title

↑白いカノコユリなんですか?
はじめて見ました!
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
真っ白の鹿の子ユリもあるのですネ
未だ見たことがないようです

真っ白で凛とした姿に私まで背筋が伸びるようです
ナイス☆彡

樹☆  
No title

あ!
あまりの美しさに書くのを忘れてました。

ぐふっ・・777ありなんですねぇ~
やっぱりすごいお方です^^

tsuyoshik1942  
No title

「解答」を、今からきちんと読ませていただきます。

問題に接した時、大まかに、「5」の数によって[0]の個数が定まることは分かりましたが、厳格な相関はつかめませんでした。
もしかしてと、5、11,17、23,29,30を「整数列大辞典」検索したら、出てきたので、びっくりしました。
自分は、この情報とPCの力を借りて解答しました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
この問題も面白くて意味はわかるもよく分からないまま…^^;
半ば感で推測しちゃいました…but…
[参考]のようなことと等価になってたようです…^^;v…Orz~

わたしもまさかと調べたら…tsuyoshik さんと同じく見つけたときは驚きました☆ 世界は広いな大きいな♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
純白の花はこの花に限らず綺麗ですね。
ハッとさせられます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
また、さいどのコメントも有難うございます。
シロカノコユリの白さは心惹かれるものがあります。
ところで、問題番号の答を絡めるのは番号によっては苦労します。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロカノコと呼ばれるカノコユリです。
花の好きなニリンソウさんだから見られる機会もあると思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私にとって、カノコユリ自体あまり見ることはないのです。
シロカノコに限らず、白いユリを見られる夏はいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、真っ白で凛とした姿はいいですね。
花の好きなさっちゃんこさんにも出会える機会はあるでしょう。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
貴殿のコメントで「整数列大辞典」を調べました。
最初は、5,29,153,777 を調べましたが、検索できず、
アドバイス通り、5,11,17,23,29,30 で調べました。
こんな整数列も載っているのですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「整数列大辞典」にも載っているのですね。
5,29,153,777,…… の方を気に入っての問題ですが、
こちらの方は検索しても出てきません。