[答777] 階乗の末尾の0の数
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[答777] 階乗の末尾の0の数
nを自然数として、n! を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数を f(n) で表すことにします。
例えば、10!=3628800 だから f(10)=2 です。
この定義で f(n) の値にならない自然数を小さい順に並べると、
5,11,17,23,29,30,36,42,48,54,60,61,67,73,79,85,91,92,98,…… ですが、
はじめて連続自然数になるのは 5番目の 29 からの2個です。
また、はじめて3連続自然数になるのは 29番目の 153 からの3個です。
では、はじめて4連続自然数になるのは 何番目のいくらからの4個?
[解答]
n! を素因数分解すするとき、「2」の個数は「5」の個数以上なので、
末尾に並ぶ 0 の個数は、素因数分解したときの「5」の個数に等しくなり、
f(n)=[n/5]+[n/52]+[n/53]+[n/54]+[n/55]+[n/56]+…… です。
また、(n-1)! より n! の末尾に 0 が増えるのは、nが5の倍数のときで、
nが 5k の倍数で 5k+1 の倍数でないとき、f(n)=f(n-1)+k になります。
このとき、f(n)の値にならない自然数が (k-1)個並ぶことになります。
よって、nが 55=3125 の倍数であるときの f(n) の直前の4個の自然数で、
f(3125)=[55/5]+[55/52]+[55/53]+[55/54]+[55/55]=625+125+25+5+1=781 だから、
最初のものは、777,778,779,780 で、先頭は 777 です。
f(n)の値になる自然数の個数は [n/5] 個で、f(3124)=776 だから、
ここまでに、f(n)の値にならない自然数の個数は 776-[3124/5]=776-624=152 個だから、
はじめて4連続自然数になるのは 153番目の 777 からの4個です。
もちろん、55 以下に、f(n)の値になる自然数の個数は 54 個、
f(n)の値にならない自然数の個数は f(55)-54=781-625=156 個、
780 が 156番目だから 777 は 153番目、としても求められます。
[参考]
はじめてN連続自然数になるのが 何番目のいくらからのN個かを求めます。
f(5N+1)=5N+5N-1+……+1=(5N+1-1)/4 の直前のN個の自然数で、
(5N+1-1)/4-N からで、
5N+1 以下に、f(n)の値になる自然数の個数は 5N 個、
f(n)の値にならない自然数の個数は
f(5N+1)-5N=(5N+1-1)/4-5N=(5N-1)/4 個、
(5N+1-1)/4-1 が (5N-1)/4 番目だから、
(5N+1-1)/4-N は (5N-1)/4-(N-1) 番目 になります。
F(N)=(5N-1)/4-(N-1) とすれば、
はじめてN連続自然数になるのは F(N) 番目の F(N+1) からのN個です。
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