[答777] 階乗の末尾の０の数

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[答777] 階乗の末尾の０の数


　ｎを自然数として、n! を計算したときの末尾に並ぶ 0 の個数を f(n) で表すことにします。

　例えば、10!＝3628800 だから f(10)＝2 です。

　この定義で f(n) の値にならない自然数を小さい順に並べると、

　5，11，17，23，29，30，36，42，48，54，60，61，67，73，79，85，91，92，98，…… ですが、

　はじめて連続自然数になるのは 5番目の 29 からの２個です。

　また、はじめて３連続自然数になるのは 29番目の 153 からの３個です。

　では、はじめて４連続自然数になるのは 何番目のいくらからの４個？


[解答]

　n! を素因数分解すするとき、「2」の個数は「5」の個数以上なので、

　末尾に並ぶ 0 の個数は、素因数分解したときの「5」の個数に等しくなり、

　f(n)＝[n/5]＋[n/5²]＋[n/5³]＋[n/5⁴]＋[n/5⁵]＋[n/5⁶]＋…… です。

　また、(n－1)! より n! の末尾に 0 が増えるのは、ｎが５の倍数のときで、

　ｎが 5^k の倍数で 5^k+1 の倍数でないとき、f(n)＝f(n－1)＋k になります。

　このとき、f(n)の値にならない自然数が (k－1)個並ぶことになります。

　よって、ｎが 5⁵＝3125 の倍数であるときの f(n) の直前の４個の自然数で、

　f(3125)＝[5⁵/5]＋[5⁵/5²]＋[5⁵/5³]＋[5⁵/5⁴]＋[5⁵/5⁵]＝625＋125＋25＋5＋1＝781 だから、

　最初のものは、777，778，779，780 で、先頭は 777 です。

　f(n)の値になる自然数の個数は [n/5] 個で、f(3124)＝776 だから、

　ここまでに、f(n)の値にならない自然数の個数は 776－[3124/5]＝776－624＝152 個だから、

　はじめて４連続自然数になるのは 153番目の 777 からの４個です。　

　もちろん、5⁵ 以下に、f(n)の値になる自然数の個数は 5⁴ 個、

　f(n)の値にならない自然数の個数は f(5⁵)－5⁴＝781－625＝156 個、

　780 が 156番目だから 777 は 153番目、としても求められます。


[参考]

　はじめてＮ連続自然数になるのが 何番目のいくらからのＮ個かを求めます。

　f(5^N+1)＝5^N＋5^N-1＋……＋1＝(5^N+1－1)/4 の直前のＮ個の自然数で、

　(5^N+1－1)/4－N からで、

　5^N+1 以下に、f(n)の値になる自然数の個数は 5^N 個、

　f(n)の値にならない自然数の個数は

　f(5^N+1)－5^N＝(5^N+1－1)/4－5^N＝(5^N－1)/4 個、

　(5^N+1－1)/4－1 が (5^N－1)/4 番目だから、

　(5^N+1－1)/4－N は (5^N－1)/4－(N－1) 番目 になります。

　F(N)＝(5^N－1)/4－(N－1) とすれば、

　はじめてＮ連続自然数になるのは F(N) 番目の F(N＋1) からのＮ個です。

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