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[答778] 漸化式で表された数列の初項

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答778] 漸化式で表された数列の初項


 すべての項が 0以上である数列{ an }が、次のように定義されています。

  an が3の倍数のとき an+1=an/3 , an が3の倍数でないとき an+1=an-1

 では、a12=1 であるとき、a1 の値として考えられるのは何通り?


[解答]

 例えば、a1=134 のとき、

 a2=133,a3=132,a4=44,a5=43,a6=42,a7=14,a8=13,a9=12,a10=4,a11=3,a12=1 になります。

 an から an+1 を求めるときの計算は、

 -1,-1,÷3,-1,-1,÷3,-1,-1,÷3,-1,÷3 になります。

 このように、-1,÷3 を 11個並べて、a12 から逆にたどれば a1 になります。

 ただし、-1 は3個以上連続で並べられませんし、-1,-1 で終わるものも適しません。

 この条件で、-1,÷3 を n個並べる方法の数を Tn 通りとすれば、

 11個の並べ方のうち、

 ÷3 で始まるものが T10 通り,-1,÷3 で始まるものが T9 通り,-1,-1,÷3 で始まるものが T8 通り、

 よって、T11=T10+T9+T8 になり、一般に、Tn+3=Tn+2+Tn+1+Tn になります。

 T1=2 、-1,-1 は適さないから T2=3 、-1,-1 で終わるものは適さないから T3=6 、

 T4=T3+T2+T1=6+3+2=11 、T5=T4+T3+T2=11+6+3=20 、T6=T5+T4+T3=20+11+6=37 、

 T7=T6+T5+T4=37+20+11=68 、T8=T7+T6+T5=68+37+20=125 、

 T9=T8+T7+T6=125+68+37=230 、T10=T9+T8+T7=230+125+68=423 、

 T11=T10+T9+T8=423+230+125=778 となって、778通りあります。

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Comments 12

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アキチャン  
No title

おはようございます。
真っ赤も、空に映えて綺麗ですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

今日も晴れですかー青空がいいですね。
夏だけはこの花も路地でみれます。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
真っ赤なアメリカ芙蓉 良いですネ
赤は私の元気の元 毎日赤いシャツで頑張っています
今日は真っ赤な花で元気をもらいました

ナイス☆彡

樹☆  
No title

今日は真っ赤ですね。
真夏に似合うお色です^^
これもアメイカフヨウですか?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
面白い問題でしたのにわかりませんでした ^^;
but...漸化式の作り方が少しわかったような気がします…☆

3進法で…最大が3^11=100000000000 なので…
次は…10000000001, 次は…1000000002,次は…100000010…
最小が134=11222 ってことから計算できないのか知らん…^^;…Orz~

tsuyoshik1942  
No title

a12,a11,a10,a9...と逆上がる実数を書き入れた樹形図を作りました。
1
3,2
9,4,6
27,10,12,5,18,7
81,28,30,11,36,13,15,54,19,21,8
..
..
そして、個数を1,2,3,6,11,20,37,68と数え上げた時点で、
1+2+3=6,2+3+6=11,3+6+11=20,..11+20+37=68に気付きました。
結果としての、漸化式は分かりましたが、「どうして?」が残っておりました。

「解答」の次の部分を読ませていただき、分かったような気がしてきました。
>÷3 で始まるものが T10 通り,-1,÷3 で始まるものが T9 通り,-1,-1,÷3 で始まるものが T8 通り、

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
真っ赤なアメリカフヨウの方が、青空には映えますね。
背丈が高いのでこんな撮り方になりました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
今日は雲の多い1日で、俄雨もありました。
写真は晴れた日に撮っておいたものです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
さっちゃんこさんのブログの画像からは赤いシャツは浮かびません。
以後、青い海を見ている赤シャツの婦人を想像します。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
アメリカフヨウはピンクか赤しか見たことがありません。
ピンクは色の薄いのこ濃いのを見ました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
結局は「÷3」「-1」の並べ方なので、
それを考えれば何とかなります。
3進法では末位を1減らすか、末位の0を消すかですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
個数を数え上げれば、この漸化式は思いつくでしょう。
解くのは別として、漸化式自体は単純な形ですね。