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[答782] 2059の倍数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答782] 2059の倍数


 49599+299・n が 2059 の倍数になる最小の自然数 n は?


[解答1]

 f(k)=495k+2k・n とすれば、

 f(k+2)-4・f(k)=(495k+2+2k+2・n)-4(495k+2k・n)=495k+2-4・495k=(4952-4)・495k

  =497・493・495k=7・71・17・29・495k=119・2059・495k

 よって、f(k+2) が 2059 の倍数であることと 4・f(k) が 2059 の倍数であることとは同値です。

 f(k) が 2059 の倍数であることと 4・f(k) が 2059 の倍数であることとも同値ですので、

 f(k+2) が 2059 の倍数であることと f(k) が 2059 の倍数であることとは同値です。

 これを繰り返して f(99) が 2059 の倍数であることと f(1) が 2059 の倍数であることとは同値で、

 f(1)=495+2n が 2059 の倍数になればよいので、

 最小の自然数 n について、495+2n=2059 が成り立ち、n=782 です。

 尚、495+2n は奇数ですので、495+2n=2059(2m-1) とおけば、n=2059m-1277 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

 2059=2・1029+1 であるから,2059 と 1029 は互いに素.

 また 495・1029=(247・2+1)・1029=247(2059-1)+1029=2059・247+782.

 (49599+299・n)・102999=(495・1029)99+205899・n=(2059・247+782)99+(2059-1)99・n.

 これが2059の倍数となることは,78299-n が 2059の倍数となることと同値.

 7822=611524=2059・297+1より,78299-n=(2059・297+1)49・782-n であるから,

 求める n は,n=782.


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 mod 2059 の合同式で考えます。すると,

 49599+299・n≡0 , 299・n≡-49599≡156499≡299・78299

 2059 は 2 と互いに素なので,

 n≡78299≡782・(7822)49≡782・61152449≡782・149≡782

 そこで,最小の n は 782 になります。


[解答4] Nemoさんの解答より

 2059=29・71 ,495≡2 (mod 29) ,495≡-2 (mod 71) なので、

 49599+299・n≡2^99(1+n)≡0 (mod 29) より 1+n≡0 (mod 29),

 49599+299・n≡2^99(-1+n)≡0 (mod 71) より -1+n≡0 (mod 71)

 x,y を整数として、n=29x-1=71y+1 とおけて、29x-1=(29・2+13)y+1 、

 29(x-2y)=13y+2 、(13・2+3)(x-2y)=13y+2 、13(2x-5y)+3(x-2y)=2 、

 (3・4+1)(2x-5y)+3(x-2y)=2 、3(9x-22y)+(2x-5y)=2 、

 9x-22y=m とおけば、2x-5y=-3m+2 、

 x,y について解けば、x=71m-44 ,y=29m-18 、n=29x-1=71y+1=2059m-1277 、

 最小の自然数 n は、n=2059・1-1277=782 です。

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Comments 16

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

皆さんの解法、後刻じっくり読ませていただきます。

自分は苦労しました。目処さえ立たず、一人(二人?)蚊帳の外。
結局、きれいな式ではありませんが、何とか式を立てることが出来ました。

ニリンソウ  
No title

おはようございます。
パンパスグラスが林立面白いですね。
もっともっと伸びて行くのでしょう。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。
昨年と同じ場所ですか?
バンパスグラスの先は海だなんてすてきです。ナイス

こっこちゃん  
No title

パンパーグラス 穂が沢山付いて

素的なアオソラに お似合いですね ナイス☆

uch*n*an  
No title

個人的には簡単な問題でした。
私の解法は二つ。(解法1)が[解答3],(解法2)が合同式を用いた[解答2],でした。
大学レベルの話になるので深入りはしませんが,理論的には[解答2]が優れていると思います。
なお,[解答4]は,折角合同式を使っているので,同じことですが,
「-1+n≡0 (mod 71)」以下,n = 71k + 1,合同式を mod 29,として,
n ≡ 71k + 1 ≡ - 1,71k ≡ 13k ≡ - 2,26k ≡ - 3k ≡ - 4,3k ≡ 4 ≡ 33,k ≡ 11
そこで,k = 11,n = 71 * 11 + 1 = 782,が最小
とかした方がスッキリしていいかも。
なお,最近は,発展とはいえ高校でも合同式を教えるそうです。

さっちゃんこ  
No title

綺麗な青空にパンパスグラスの柔らかな穂が輝いていますね
此方でも穂が出てきましたがこれほど見事にまとまっているものは見かけませんね
見事の一言に尽きますね

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
いろんな解法があって勉強になります♪
最初どうやればいいのかしばし佇んでましたぁ…^^;
とりあえず...周期を考えてたら…
495^2≡4 mod 2059 が出て来たので…
なんとか辿り着けましたです ^^;v

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
いろんな解き方があるものです。
貴殿のお役にたてば幸いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
海岸の散歩の時に撮りました。
パンパスグラスがこんなに密集している所は他に知りません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、昨年も同じ場所で写真を撮りました。
背後は海と淡路島です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
パンパスグラスやススキの背景は青空がいいですね。
もし、絵心があれば描きたいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
合同式の方が使いやすいようで、
ほとんどの方が合同式で解いておられました。
私は[解答1]が単純だと思い、これを想定していました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
私もここ以外でこんなにまとまったパンパスグラスを
見たことがありません。
柔らかな穂の感じが好きです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
いろんな解き方があるものです。
貴殿のお役にたてば幸いです。

アキチャン  
No title

ススキと違ってまた違う趣がありますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
パンパスグラスもススキも独特の良さがあると思います。