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[答786] 2の累乗の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答786] 2の累乗の和


 2の整数乗で表される自然数 1,2,4,8,16,32,…… または その和で自然数を表します。

 このとき、加える順序が違っても同じ表し方と見做します。

 例えば、8 は、8,4+4,4+2+2,2+2+2+2,4+2+1+1,4+1+1+1+1,2+2+2+1+1,

 2+2+1+1+1+1,2+1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1+1 の 10通りの表し方があります。

 では、50 の表し方は何通り?


[解答1]

 自然数 n の表し方を an 通りとします。 (a8=10 です)

 9 の表し方は (8の表し方)+1 で表されますので、a9=a8 です。

 同様に考えて、一般に a2k+1=a2k が成り立ちます。

 また、8 の表し方のうち、1 を含むものは +1+1 で終わるので、 +1+1 を除くと、

 4+2,4+1+1,2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1 になり、

 これは、6 の表し方になり、

 8 の表し方のうち、1 を含まないものは 8,4+4,4+2+2,2+2+2+2 ですが、

 2 で割ると 4,2+2,2+1+1,1+1+1+1 になり、これは、4 の表し方になります。

 従って、a8=a6+a4 です。

 同様に考えて、一般に a2k=a2k-2+ak が成り立ちます。

 2 の表し方は 2,1+1 の 2通りなので、a2=2 ,a4=a2+a2=4 ,a6=a4+a3=a4+a2=6 ,

 a8=a6+a4=10 ,a10=a8+a5=a8+a4=14 ,a12=a10+a6=20 ,a14=a12+a7=a12+a6=26 ,

 a16=a14+a8=36 ,a18=a16+a9=a16+a8=46 ,a20=a18+a10=60 ,a22=a20+a11=a20+a10=74 ,

 a24=a22+a12=94 ,a26=a24+a13=a24+a12=114 ,a28=a26+a14=140 ,a30=a28+a15=a28+a14=166 ,

 a32=a30+a16=202 ,a34=a32+a17=a32+a16=238 ,a36=a34+a18=284 ,a38=a36+a19=a36+a18=330 ,

 a40=a38+a20=390 ,a42=a40+a21=a40+a20=450 ,a44=a42+a22=524 ,a46=a44+a23=a44+a22=598 ,

 a48=a46+a24=692 ,a50=a48+a25=a48+a24=786 です。


[解答2]

 自然数 n の表し方を an 通りとします。 (a8=10 です)

 9 の表し方は (8の表し方)+1 で表されますので、a9=a8 です。

 同様に考えて、一般に a2k+1=a2k が成り立ちます。

 また、8 の表し方は、例えば 4+2+1+1=2(2+1)+1+1 のように、2以上の項を 2 でくくれば、

 2(4の表し方),2(3の表し方)+1+1,2(2の表し方)+1+1+1+1,2(1の表し方)+1+1+1+1+1+1 と、

 1+1+1+1+1+1+1+1 がありますので、

 a8=a4+a3+a2+a1+1 で、a1 から an までの和を Sn とすれば、a8=S4+1 です。

 同様に考えて、一般に a2k+1=a2k=Sk+1 が成り立ちます。 

 1 は 1 としか表せませんので、a1=S1=1 で、以下、

 a3=a2=S1+1=2 より S2=3,S3=5 、 a5=a4=S2+1=4 より S4=9,S5=13 、

 a7=a6=S3+1=6 より S6=19,S7=25 、a9=a8=S4+1=10 より S8=35,S9=45 、

 a11=a10=S5+1=14 より S10=59,S11=73 、a13=a12=S6+1=20 より S12=93,S13=113 、

 a15=a14=S7+1=26 より S14=139,S15=165 、a17=a16=S8+1=36 より S16=201,S17=237 、

 a19=a18=S9+1=46 より S18=283,S19=329 、a21=a20=S10+1=60 より S20=389,S21=449 、

 a23=a22=S11+1=74 より S22=523,S23=597 、a25=a24=S12+1=94 より S25=691,S25=785 、

 従って、a50=S25+1=786 になります。

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Comments 17

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
何の花でしょう(・・?
いくら見ても見た記憶がない花です
花の咲き方がチョッピリさびしげに見えます

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんと、下向きのお花は寂しげですね。

uch*n*an  
No title

私は[解答1]でした。なるほど,[解答2]のように考えるのもいいですね。
いずれにせよ,漸化式を作った後はゴリゴリ計算するしかなさそうですね。

ニリンソウ  
No title

フリージアでしょうか!
季節が違いますね、昼は暑くても朝晩は涼しい
すっかり秋本番になりました。

ナイス

樹☆  
No title

こんにちは

これはなんのお花でしょう。
額が面白いです。。かなり低めのお花?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
行けそうで行けずのもどかしさを残したままでした…^^;;
漸化式の威力様々ですねぇ☆
ばってん...わたしゃ、その漸化式が作れない…^^;
熟読玩味ぃ~Orz

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」を読ませていただき、分かったような気がしてきました。

自分は、例のインチキ手法でした。
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10に対する表示を実際に書き出し、
1,2,2,4,4,6,6,10,10,14を得、それを検索しました。
そこで、a(50)=786を知り、また、a(2k)=a(2k-1)+a(k)を目にしました。
しかし、「単語を拾い読みし、意味を推量する」英語力のせいもあり、漸化式の意味は理解できておりませんでした。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

涼しい色合いの花ですね

花は癒されますね ナイス☆

ヤドカリ  
No title


写真の植物は黄蓮華升麻(キレンゲショウマ)です。
花の文化園で見ました。
黄蓮華升麻はユキノシタ科キレンゲショウマ属の多年草で、
キレンゲショウマ属は1属1種である。
分布は、関東地方以西の本州・四国・九州ですが、
紀伊半島、四国山地、九州山地などの限られた地域に生えます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
上に書きましたように、キレンゲショウマの花です。
俯いて咲くので、黄色の割には寂しげですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
下向きの花ですので寂しげですね。
黄色の可憐な花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
漸化式は出せても逐次求めるしかなさそうです。
でも、単純な計算で求められるのは漸化式の良さですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
上に書きましたように、キレンゲショウマの花です。
そちらには分布していないようですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、キレンゲショウマの花です。
シャトルのような形の萼は確かに面白いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
漸化式を作れば単純計算で答が出ますね。
工夫のし甲斐があります。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
その手があったのですね。私にとって盲点の解き方です。
でもそれを考えていると、場合の数の出題ができなくなります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
黄色の割には涼しい色合いだと思います。
癒される可愛い花ですね。