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[答787] 等脚台形の内接円・外接円

ヤドカリ

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[答787] 等脚台形の内接円・外接円


 内接円をもつ等脚台形があって、

 等脚台形の平行な辺の比が 2:3 のとき、外接円の半径と内接円の半径の比は 35:24 になります。

 では、外接円の半径と内接円の半径の比が 8245:2184 のとき、等脚台形の平行な辺の比は?


[解答]

 等脚台形ABCDにおいて、AD//BC とし、内接円の半径を r,外接円の半径を R,

 Aと内接円の接点の距離を a,Bと内接円の接点の距離を b,対角線 AC=BD=c とすれば、

 AD=2a,BC=2b,AB=DC=a+b 、ADとBCの距離は 2r です。

 三平方の定理より、(2r)2+|b-a|2=(a+b)2 だから r2=ab です。

 また、トレミーの定理により、c2=2a・2b+(a+b)2=a2+6ab+b2

 sin∠ABC=2r/(a+b) だから、R=c/(2sin∠ABC)=c(a+b)/(4r) になり、

 R/r=c(a+b)/(4r2)=c(a+b)/(4ab) です。

 R/r=c(a+b)/(4ab)=8245/2184 だから c(a+b)/(ab)=8245/546 、c2(a+b)2/(a2b2)=82452/5462

 (a2+6ab+b2)(a2+2ab+b2)/(a2b2)=82452/5462

 (a/b+6+b/a)(a/b+2+b/a)=82452/5462 、(a/b+b/a+4+2)(a/b+b/a+4-2)=82452/5462

 (a/b+b/a+4)2-4=82452/5462 、(a/b+b/a+4)2=82452/5462+4=83172/5462

 a/b+b/a+4=8317/546 、a/b+b/a=6133/546 、546(a/b)2-6133a/b+546=0 、

 (78a/b-7)(7a/b-78)=0 、a/b=7/78,78/7 、AD:BC=7:78,78:7 です。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
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おはようございます
今此方でも良く見かける花でマメ科の雑草だと思うのですが名前が判りません
小さい花ですが良く見ると可愛い花ですよね
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

キツリフネですね。
ぶら下がって咲きます、ホウセンカのように種が飛びますね。 こんなに大きく撮った事はありません
ナイス

ひとりしずか  
No title

先ごろ知人宅の近くで初めて実物見れて感激でした

花の形変わっていますよね~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と途中経過は異なりますが、中段のまとめ、
>(a^2+6ab+b^2)(a+b)^2/(a^2b^2)=8245^2/546^2を得ました。
ただし、この後の、きめ細かな式変形による(a,b)の割り出しは出来ませんでした。

自分は、8245^2/546^2→5^2*17^2*97^2/(2^2*3^2*7^2*13^2)と変形し、
いくつかの試行錯誤の結果、(7,78)を特定しました。

なお、R:rが整数比となるときの(a,b)は(a^2+6ab+b^2=n^2)の形を成す、
(2,3),(3,10),(4,21)(5,12)...(7,78)..等であることを確かめました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
同様の手順でしたが…
>sin∠ABC=2r/(a+b) だから、R=c/(2sin∠ABC)=c(a+b)/(4r)
ってなスマートさでなく、ぐじゃぐじゃと求めてましたぁ…^^;
数値設定が絶妙ですね☆
7:87 は上手くいかなかいんだろうと勝手に予想…^^?…Orz~

樹☆  
No title

こんばんは
キツリフネというのですね^^

十五夜の色したこの釣舟に乗って
お月さままで行ってみたいです^^

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
キツリフネという花です。
種になると鳳仙花のように弾けます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ツリフネソウにしてもキフリツネにしても、
ぶら下がった形が面白いです。
接写するとこんな写真になりました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花の形に特徴がありますね。
この写真は花の文化園で撮ったものですが、
こちらでは山でよく見られます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
R:rが整数比となるときの a,b は、
解答の R/r=c(a+b)/(4ab),c²=a²+6ab+b² から分かりますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
7:87 が整数比にならないことは、
解答の R/r=c(a+b)/(4ab),c²=a²+6ab+b² から分かりますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
黄色の釣舟で月まで行くなんてメルヘンですね。
アームストロング船長もびっくりです。