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[答788] 碁石の並べ方

ヤドカリ

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[答788] 碁石の並べ方


 図は 23個の碁石を方眼の中に 全体が方眼に対して 45゚ 傾いた長方形状に配置したもので、

 縦横のどの列,どの行にも碁石は奇数個ずつ並びます。

 斜め一直線上の配置を長方形状と認めないことにすれば、碁石が 23個の場合は、

 対称な並べ方を除いて 図の2種類になります。

 n個の碁石のこのような長方形状の配置が f(n) 通りあるとすれば、f(23)=2 ですが、

 1000以下の自然数 n について、f(n) の最大値は? また、そのときの n の値は?


[解答1]

 図の例の碁石の個数は 3・5+2・4=23 ,2・8+1・7=23 のように、

 いちばん外に斜めに並んだ碁石の数を a,b とすれば、

 個数 n は、n=ab+(a-1)(b-1)=2ab-a-b+1 になり、

 2n-1=4ab-2a-2b+1=(2a-1)(2b-1) になります。

 2n-1 は 1≦2n-1≦1999 を満たす奇数で、約数の個数が一番多いのは 32・52・7=1575 です。

 2n-1=1575 より n=788 で、

 1575=(2a-1)(2b-1) (3≦2a-1≦2b-1≦1575/3) の表し方は 3・3・2/2-1=8 通りです。


[解答2]

 右図のように、配置を変えると、縦横が奇数の(黄色の)長方形になり、

 空いているマス目は 碁石の数より 1 少ないので、面積は 2n-1 です。

 2n-1 は 1≦2n-1≦1999 を満たす奇数で、約数の個数が一番多いのは 32・52・7=1575 です。

 2n-1=1575 より n=788 で、 1575=ab (3≦a≦b≦1575/3) の表し方は 3・3・2/2-1=8 通りです。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます。
始めてみるような気がします。見たような種はありそうですが黄色の茎からピンク色のお花が咲き、なんだか珍しい気がしています(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
見事なナンバンキセルですネ
こんなに沢山纏まって咲いているのは余り見かけることが出来ませんね
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

いっぱい並びましたね「想い草」うちも近々アップします
白の方がいっぱい出ました。

ナイス

ひとりしずか  
No title

ナンバンギセルというのでしょうか~
ブログで白はよく見ますが~
すすきの根方探してみているのですが、見つかりません
実物にお目にかかりたい~
nice☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
対称は除く={a<=b} が示された図で了解できましたぁ☆
わたしの求め方では…a>bは区別されてもいいと思えたもので…^^;

>空いているマス目は 碁石の数より 1 少ないので、面積は 2n-1 です。

の発想が頭に鮮やかです♪ Orz~

tsuyoshik1942  
No title

最終的には、もっと泥臭い構図ですが、「2n-1」を導出し、その後は
[解答」と同じ手法で、最大が8通りであること、そしてそれが788のみであることを特定しました。

最初の解答時の答はインチキ手法でした。
大回りをしましたが、上記解法にたどり着き、すっきりしました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ナンバンギセルがたくさん咲いていました。
この花も秋の到来を伝えてくれる、好きな花です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私もナンバンギセルがこんなに沢山見るのは初めてです。
毎年この時期に見たい花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
万葉の人たちが「おもひぐさ」と言ったように、
俯き加減の美しい花ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ススキの根元を見てもなかなか出会えない花ですね。
私はこの色だけで、白いのを見たことはありません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
みなさん、2n-1 にたどり着いていますが、
こんな形での説明は見られませんでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
奇数を積の形で表す問題でしたが、
2000までの中で約数が一番多いのが 1575 だけであるのがラッキーでした。

樹☆  
No title

kんばんは
ナンバンキセルがいっぱいですね^^美しいです。
頭を下げ・・なにやら思い込んでるような。。ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
私もこんなに沢山のナンバンギセルは初めてです。
たくさん集まって何を思ふのでしょう。