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[答789] 三角形の辺の比

ヤドカリ

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[答789] 三角形の辺の比


 △ABC において、tanA:tanB:tanC=11:16:33 であるとき、 辺の長さの比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 BC=a,CA=b,AB=c,△ABCの外接円の半径をRとすれば、

 sinA=a/2R ,cosA=(b2+c2-a2)/(2bc) だから、1/tanA=R(b2+c2-a2)/(abc) 、

 同様に、1/tanB=R(c2+a2-b2)/(abc) ,1/tanC=R(a2+b2-c2)/(abc) です。

 1/tanA:1/tanB:1/tanC=1/11:1/16:1/33=48:33:16 だから、

 (b2+c2-a2):(c2+a2-b2):(a2+b2-c2)=48:33:16 だから、

 2a2:2b2:2c2=(33+16):(16+48):(48+33) 、

 a2:b2:c2=49:64:81 、a:b:c=7:8:9 です。


[解答2]

 BC=a,CA=b,AB=c とし、頂点から対辺におろした垂線を AD,BE,CF とします。

 a=BC=BD+CD=AD/tanB+AD/tanC=AD(1/tanB+1/tanC) 、a2=aAD(1/tanB+1/tanC) になり、

 同様に、b2=bBE(1/tanC+1/tanA) 、c2=cCF(1/tanA+1/tanB) です。

 aAD=bBE=cCF=2△ABC だから、

 a2:b2:c2=(1/tanB+1/tanC):(1/tanC+1/tanA):(1/tanA+1/tanB) 、

 1/tanA:1/tanB:1/tanC=1/11:1/16:1/33=48:33:16 だから、

 a2:b2:c2=(33+16):(16+48):(48+33)=49:64:81 、

 a:b:c=7:8:9 です。


[解答3]

 A+B+C=π だから、tan(A+B)=-tanC 、(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC 、

 tanA+tanB+tanC=tanA・tanB・tanC になります。

 tanA=11k,tanB=16k,tanC=33k とおけば、11k+16k+33k=11k・16k・33k 、k=(√5)/22 になり、

 tanA=(√5)/2,tanB=8(√5)/11,tanC=3(√5)/2 、

 sinA=(√5)/3,sinB=8(√5)/21,sinC=3(√5)/7 、

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=(√5)/3:8(√5)/21:3(√5)/7=7:8:9 です。

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Comments 18

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ひとりしずか  
No title

これ一度見てみたい!
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます。
一度乗ってみたいです。笑

アキチャン  
No title

おはようございます。
子供が乗っているイベントを見ますが、
ほんと、乗ってみたいですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
図形的にわかりやすいし、式の意味が面白い[解答2]が好きですね☆
[解答3]の式から即出ってのも盲点でした…^^;
ちなみに…思いついたのは[解答1]でした ^^…Orz

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」と同じく3本の垂線を下ろしました。
そして、割と容易にすんなりとスッキリした一般式
>a^2:b^2:c^2=(1/TAN(B)+1/TAN(C)):(1/tan(C)+tan(A)):(1/tan(A)+tan(B))
を導出できたと思っておりましたが、
「解答2」の方がより簡明でした。

[解答1」[解答3」もスッキリですね!

こっこちゃん  
No title

↑の方たちのコメントの

ように 載りたいですね

船のように 軽やかに動くといいですね ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
オオオニバスの葉 小さな子供だったら葉っぱに乗ることも出来るのですネ
画像では見たことが在りますが実際に乗っている姿を見てみたいですネ

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

乗ってるのを見たい・・・乗れませんから 笑
オニバスの花は紫なのにオオオニバスは白ですよね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
水面の平らな葉がいいですね。
私は何度か見ていますが、何度見てもいいものです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私が見たのはあまり大きくなかったので、
乗ってみたいとは思いませんでしたが、
こんな葉に乗れればいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私もTVで見ましたが、人が乗れるのは特別なオオオニバスのようです。
そして体重の軽い子供だけだったように思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答1]は正弦定理・余弦定理を知っていると何とかなる解法ですが、
他の解法の方が解きやすいという問題でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
割にスッキリと解ける解法が複数ありました。
比が綺麗な式になったのも1つの収穫です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
子供の頃に乗る機会があればよかったのになぁ、と私は思います。
いろんな意味で、子供の時にしかできない事を逃しながら、
大人になりました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
私も実際に子供が乗っているのは見たことがありません。
水面の休憩所のようです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
来世は乗りたい・・・現世では乗れませんから(笑)
と言っても、
大人でも乗れるカエルに生まれ変わりたいと思いません(笑)

???  
No title

珍獣ハンターイモトが乗ろうとして、落ちたのを見たことがあります。

ヤドカリ  
No title

???さん、コメントを有難うございます。
言われてみると、私もTVで見たような気がします。