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[答790] 漸化式で表される数列の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答790] 漸化式で表される数列の和


 a1=1,a2=2,a3=1,an+3=(an+an+1)/an+2 (n=1,2,3,……) で表される数列{ an }において、

 初項から第790項までの和は?


[解答]

 an+4=(an+1+an+2)/an+3=an+2(an+1+an+2)/(an+an+1) だから、an+2=an であれば、an+4=an+2 になります。

 a1=a3=1 だから、a1=a3=a5=a7=……=1 です。

 また、an+2・an+3=an+an+1 だから、nが偶数のとき、an+2=an+1 となって、an=a2+(n-2)/2=n/2+1 です。

 求める和は、

 (a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+……+(a789+a790)=(1+2)+(1+3)+(1+4)+……+(1+396)

  =3+4+5+……+397=(3+397)・395/2=79000 になります。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
秋を感じるような青い空に百日紅の花が奇麗ですネ

ナイス☆彡

樹☆  
No title

おはようございます
これが珍しい白い花が咲いてた百日紅の花ですか?
お寺の境内に白い花の百日紅あります。雪の華のように
美しいです。もうそろそろ散ったかもです。
幹のようなすべすべお肌ならいいですね^m^

ニリンソウ  
No title

まだ百日紅が華やかですね。
秋の空が高く感じます、白い雲もいいね~

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
青い空に映えて綺麗ですね(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

先ずは、何も考えずにa4,a5,a6.....を3,1,4,1,5...と書き並べました。
その規則性から「79000」を得、安心し解答を送信させていただきました。
その後、a1,a2,a3をp,q,rとした一般解に挑戦しましたが、目処が立たず中断しました。

問題内容も上質ですが、「790項の総和が79000」作者冥利な作品ですね!

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
(1,k) のペアになる説明はできないまま…求めましたぁ ^^;
不思議なペア数列表現ね☆
3~397の和が79000になることも考えたことなかったですわ ^^;v
Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
青い空には赤の百日紅が似合います。
百日紅が咲いている間に、季節はかなり進みました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
この百日紅は赤ばかりでした。
本来の赤があまり見られないので撮りたくなりました。
また、青空に白やピンクの百日紅はクッキリ写りません。
すべすべお肌に話をもっていくのがユニークですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
花期の長い百日紅、季節がどんどん進みました。
空が高くなりましたね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
青い空には赤い百日紅が映えます。
百日紅をあまり取らなかったのですが、これは撮りたくなりました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
「790項の総和が79000」とうまくいきました。
たまにはこんな幸運もあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
何項か書き出せば分かりますね。
見かけない漸化式でスッキリした数列を作ることができました。