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[答791] 5桁,6桁の回文数

ヤドカリ

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[答791] 5桁,6桁の回文数


 自然数 n,a,b について、n は 37 の倍数で、回文数でない5桁の数、5n は5桁の回文数です。

 また、3n と an は 数字の並びが逆順で、bn は6桁の回文数です。

 このとき、自然数の組(n,a,b)=?


[解答]

 5n の一の位は 0,5 ですが、一の位が 0 の回文数はありませんので、一の位は 5 です。

 従って、万の位も 5 、5n=50005+1010c+100d (c,d は 整数で 0≦c≦9,0≦d≦9) と表されます。

 10101,1110 が 37 の倍数であることに留意すれば、

 5n-50505-1110c=-500-100c+100d=-100(5+c-d) が 37 の倍数で、

 -4≦5+c-d≦14 だから、 5+c-d=0 、d=5+c≦9 、c=0,1,2,3,4 になります。

 よって、5n=50005+1010c+100d=50005+1010c+100(5+c)=50505+1110c 、

 n=10001+202c+20d=10001+202c+20(5+c)=10101+222c (c=0,1,2,3,4) で、

 c=0 のとき n=10101 は回文数ですので、適しません。

 結局、n=10101+222c (c=1,2,3,4) 、n=10323,10545,10767,10989 です。

 いずれも 3n の万の位は 3 なので、an の一の位が 3 になるのは、

 1・10323=10323,9・10767=96903,7・10989=76923 です。

 3・10323=30969,3・10767=32301,3・10989=32967 と比べれば、

 a=7,n=10989 であることが分かります。

 次に、m を 自然数として 100000m/10989=9m+1099m/10989 だから、

 bn=10989b が 6桁で、「10989b の十万の位 ⇒ bの範囲」の対応は、

 1 ⇒ 10≦b≦18 ,2 ⇒ 19≦b≦27 ,3 ⇒ 28≦b≦36 ,4 ⇒ 37≦b≦45 ,5 ⇒ 46≦b≦54 ,

 6 ⇒ 55≦b≦63 ,7 ⇒ 64≦b≦72 ,8 ⇒ 73≦b≦81 ,9 ⇒ 82≦b≦91 です。

 bn=10989b だから、「10989b の一の位 ⇒ bの一の位」の対応は、

 1 ⇒ 9 ,2 ⇒ 8 ,3 ⇒ 7 ,4 ⇒ 6 ,5 ⇒ 54 ,6 ⇒ 4 ,7 ⇒ 3 ,8 ⇒ 2 ,9 ⇒ 1 です。

 よって、bn=10989b の 十万の位と一の位 が一致するのは b=91 のときだけで、

 bn=91・10989=999999 で、6桁の回文数になります。

 まとめると、(n,a,b)=(10989,7,91) です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

わぁ~ヘビウリの実ですか?
すご~く長いですね~~へびですね^^
始めて見ました。

おはようございます

ひとりしずか  
No title

わぁ~
観賞する気にねれないです
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
後半の求め方がいい加減でした…^^;
(一つしかないことは言えてなかったです…)
その考え方納得です☆ Orz~

こっこちゃん  
No title

この長いのへびうりなのですね

初めて見ました 花は可愛いですが
へびうり 心地よくないですね (笑) ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
一瞬、目をそらしましたよ!とても苦手なものですから(笑)
それにしても、珍しいですね(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答」に比べ、後半部分は、自分の解法の方が簡明のように感じ、念を入れ見直しました。
結果、(スモークマンさんと同じく、1個に限定できておらず)間違っていたことに気づきました。

ニリンソウ  
No title

〇の中が花ですか!
こんなもの初めて見ましたよ~ヘビウリと言うのですか。
作るからには美味しいんでしょう。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ヘビウリ 花は烏瓜にソックリですネ
烏瓜の実は真っ赤に成り可愛いですが此れはチョッと気持ち悪いようです
烏瓜は食べることは出来ませんが此の実は胡瓜のように食べられるとの事
サラダやバター炒めになっているものは知らずにダルかもしれませんが自分で料理しては食べる木に成らないでしょうね(笑)

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
面白い形をしていますね。
食用にもなるそうで、Webで調べるとレシピも出てきます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花は綺麗のに実はグロテスクですね。
よく見られないかも知れませんが、ユニークです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
他に解がないことを確かめるのは、解き方によっは大変ですね。
私は、解答を作ってもより能率のいい方法を考えます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花はカラスウリと似て妖しい美しさがあります。
実のほうはビックリですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
蛇の形は苦手ですか。
形の似たウナギを「ひつまぶし」にする名古屋近辺の方は平気かと思っていました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
きちんと示すとどうしても冗長な感じの解答になりますが、
厳密にしなくても解答が出ることも多いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
先週、花だけアップすると烏瓜や黄烏瓜と思われた方が多かったし、
これぞ蛇瓜というような実に出会ったのでまたアップしました。
美味しいかどうか、食したことがないので分かりませんが、
Webで調べるとレシピも出てきます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
胡瓜と似ているのですか?
サラダやバター炒め、かっぱ巻きのようにしても、
調理済みなら分かりませんね。