FC2ブログ

Welcome to my blog

[答792] 6個の数の和の倍数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答792] 6個の数の和の倍数


 0 以外の3種類の数字ででできる3桁の数について、

 3種類の数字のうち2種類の数字を使ってできる2桁の数6個の和を考えます。

 例えば、132 については、13+12+31+32+21+23=132 です。

 132 のように、もとの3桁の自然数が 6個の2桁の数の和の倍数になるものは?

 132 を含めて全て求めて下さい。


[解答]

 もとの3桁の自然数の百の位を a,十の位を b,一の位を c とします。

 2桁の数は 10a+b,10a+c,10b+a,10b+c,10c+a,10c+b で、その和は 22(a+b+c) 、

 従って、100a+10b+c は 22 の倍数、よって、c は偶数、b=a+c または b=a+c-11 です。

 b=a+c のとき、c=b-a 、

  100a+10b+c=100a+10b+b-a=11(9a+b) 、

  22(a+b+c)=22(a+b+b-a)=11・4b 、

  よって、9a+b は 4b の倍数で、9a+b=4kb とおけば、9a=(4k-1)b 、a<b より k=1,2 、

  k=1 のとき、9a=3b 、3a=b 、(a,b,c)=(1,3,2),(2,6,4),(3,9,6) です。

  k=2 のとき、9a=7b よって (a,b,c)=(7,9,2) です。

 b=a+c-11 のとき、c=b-a+11 、

  100a+10b+c=100a+10b+b-a+11=11(9a+b+1) 、

  22(a+b+c)=22(a+b+b-a+11)=11(4b+22) 、

  よって、9a+b+1 は 4b+22 の倍数で、9a+b+1=4kb+22k とおけば、

  9a=(4k-1)b+(22k-1)=(4k-1)(b+1)+18k 、a=(4k-1)(b+1)/9+2k 、

  k=1 のとき a=(b+1)/3+2≧3 、b=3a-7 、c=b-a+11=2a+4≧10 、不適。

  k=2 のとき、a=7(b+1)/9+4≧7+4 、不適。

  k=3 のとき、a=11(b+1)/9+6≧11+6 、不適。

  k≧4 のとき、a=(4k-1)(b+1)/9+2k≧(4・4-1)(b+1)/9+2・4=5(b+1)/3+8≧5+8 、不適。

 よって、100a+10b+c=132,264,396,792 です。


☆ 偶然にも、132+264+396=792 になりました。

.

スポンサーサイト



Comments 15

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
秋の色付きですね。
やっぱり紅でしょうか^^
吾亦紅・・われもこうありたい

アキチャン  
No title

おはようございます。
濃い色合いですね、秋を感じます(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
吾亦紅 小さな花ですが奇麗に撮れていますね
後ろの優しい緑に句っきりと浮かび出るように咲く花
とても素晴しいですネ
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

吾亦紅地味なのに人気の野草ですね。
一つ一つが紅い花、素敵です。

ナイス

こっこちゃん  
No title

吾亦紅 小さな花ですね

色が良く好きな花ですね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

ミスをしました。問題文中の「倍数」を完全に見落としていました。反省!
>13+12+31+32+21+23=132 が焼き付き、総和がその数そのものと思い込んでおりました。

出てきた答に「792」がないので、一瞬、おかしいな!と思ったのですが、
(132+264+396=792)となったので、安心してしまいました。

風 草  
No title

ワレモコウのシックな色合いは、秋を感じさせてくれますね~

ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
面白い問題を次々と思いつかれるものだと感嘆☆
上手い解き方わからず…グチャグチャと…^^;
それにしても…
>132+264+396=792
の関係って...偶然にしては上手すぎる符合ね☆…Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
吾亦紅の群生です。お好きでしょ!?
たくさんあって、全体を撮りきれなかったほどです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
吾亦紅の色は他の花にはあまり見られませんね。
派手ではないけど、これだけ集まると見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
小さな花で、手前にピントを合わせて撮りました。
花の色はともかく、葉はまだ青々としていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
地味な色の花ですが、この色だからいいのですね。
たくさん咲いていました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
2倍以上の倍数になるのが1つだけですので 792を例に使えませんでした。
偶然ながら、他の3つの和が 792になるのはうまくいきました。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
吾亦紅の葉も枯れてくると冬間近ですね。
シックな落ち着いた色合いが素敵な花だと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
問題をいろいろ考えていると、こんなラッキーもたまにあります。
面白い問題だとの評価、恐れ入ります。