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[答793] 六芒星形

ヤドカリ

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[答793] 六芒星形


 図は1辺が 1 の正三角形を集めた網目模様に、

 ピンクの六芒星形を描き、その内部に水色の六芒星形を描いたものです。

 ( 六芒星形の 12本の辺の長さはすべて等しく 内角は 60゚,240゚ です )

 図では水色の六芒星形の内部の交点(青色の点)が 73個あり、

 それ以外の、ピンクの六芒星形の内部の交点(赤色の点)は 108個あります。

 では、赤色の点が 7200個のとき 青色の点の個数は?

 考えられる個数のうち、最少のものを求めてください。


[解答]

 六芒星形の1辺の長さを n とすれば、辺上の交点は 12n 個なので、

 内部の交点の個数は 1+{12+24+……+12(n-1)}=6(n-1)n+1 です。

 ピンクの六芒星形の1辺を m ,水色の六芒星形の1辺を n とすれば、

 赤色の点の個数は {6(m-1)m+1}-{6(n-1)n+1}=7200 になりますので、

 これを簡単にして、(m-n)(m+n-1)=1200 になります。

 ここで、m-n<m+n-1 で、

 (m-n)+(m+n-1)=2m-1 は奇数だから、m-n,m+n-1 の一方は奇数で他方は偶数です。

 よって、(m-n,m+n-1)=(1,1200),(3,400),(5,240),(15,80),(25,48),(16,75) 、

 (m,n)=(601,600),(202,199),(123,118),(48,33),(37,12),(46,30) で、

 最小のものは、(m,n)=(37,12) です。

 従って、青色の点の個数は 6(12-1)・12+1=793 です。

 なお、赤色と青色の点の個数の和は 793+7200=7993 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
露草色のかわいいお花ですね。
なんでしょうか。。
朝が肌寒くなりました
お風邪など引かれませんように。。

ニリンソウ  
No title

赤花ゲンノショウコでしょうか!
五枚の花弁です、薬草としてより観賞用にいい花ですね。

ナイス

こっこちゃん  
No title

散歩で 見られる花ですね

野花ですよね カワイイな ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
内部の交点の数を外の△を内部に折り曲げて重なるところを引いて…
6k^2-6k+1 と求めました…^^
あとは、その差が7200で同じ式に至るも...手計算では解くあたわずのわたしはPCに計算させちゃいました ^^; Orz…
上手い数値に持って行ける凄業ね☆

綾  
No title

我が家の庭では白花がいっぱい~
秋の陽射しに色濃くて~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答」とほぼ同じ道を歩き、6組まで把握できました。

自分としては、久しぶりにスッキリした解放(解法)感を味わえました。

風 草  
No title

ゲンノショウコ、田圃の畔にも咲いてました。
可愛いお花ですね。

ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
赤花のゲンノショウコですネ
今此方でも一杯咲いていますね
薬草になったはずですが効用を忘れてしまいました

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ゲンノショウコを接写してみました。
仰るように、朝は肌寒くなってきましたね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおりゲンノショウコです。
小さい花ですが、鑑賞に十分耐えられますね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
此方では、この花も見かけることが少なくなりました。
ゲンノショウコ、小さな可愛い花ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
この手の整数問題は、因数分解して約数を考えれば何とかなります。
場合が多いときは、このように最大か最小を求めることになります。

ヤドカリ  
No title

綾さん、初めまして。早速のコメントを有難うございます。
ゲンノショウコの白花もいいですね。
家の庭にいっぱいなんて、羨ましいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
貴殿が6組とも求められているのを拝見し、
スッキリ解かれたと思っていました。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
風草さんなら別のアングルから撮られるのでしょうか?
アップで見ると面白いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
薬草としても効用は、今の時代 Webで調べれば簡単ですね。
ゲンノショウコの花自体が可愛いです。