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[答6] ♡ に囲まれる部分の面積

ヤドカリ

ヤドカリ


[答6] ♡ に囲まれる部分の面積


図の曲線は、

x=sinθ, y=sin(|θ|-π/3) ただし-π≦θ≦π

で表される曲線です。

この曲線に囲まれる部分の面積は?





[解答]

積分を使えばできますが、カバリエリの原理だけで解いてみます。

まず、sin(-θ)=-sinθ, sin(|-θ|-π/3)=sin(|θ|-π/3)だから、

グラフはy軸対称。

x≧0(0≦θ≦π) の部分では、

y=sin(θ-π/3)=sinθcos(π/3)-cosθsin(π/3)=(1/2)sinθ-(√3/2)cosθ

だから、曲線上の点(x, y)を(x, y-x/2)移動させると、

(x, y-x/2)=(sinθ, -(√3/2)cosθ)

従って求める面積は、

長半径が1, 短半径が√3/2 の楕円の面積と等しく、π√3/2

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Comments 6

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スモークマン  
No title

ばんは ^^
直感的に理解できました ^^;♪
点をどのように移動させたっていいんですね・・・
1:1対応してるなら...
って了解しました...^^v

ヤドカリ  
No title

「どのように」なんてアバウトですね。
x軸に垂直な直線でカットした時に、その切り口の長さを変えないような移動です。

スモークマン  
No title

そっか...^^
すべての y から、同じだけの x/2を引いたら、ちょうど y軸の右側に楕円の半分ができるってわけですね♪

ヤドカリ  
No title

You are right!

uchinyan  
No title

「カバリエリの原理」の説明が欲しいな...
積分は学校で習うけど,こっちは習わないっぽいから。

ヤドカリ  
No title

カバリエリの原理とは。

「同じ高さを持つ二つの閉曲線の底辺に平行な直線で切ったとき、
切り口となる線分の長さが常に等しければ、面積は等しい」
ということです。
例えば同じ底辺と高さをもつ三角形を(底辺が一直線上になるように)
2つ並べるとこの条件が成り立って、面積が等しくなります。
この問題では、y軸を底辺として考えています。

立体の体積についても、
「同じ高さを持つ二つの立体の底面に平行な平面で切ったとき、
切り口となる断面積が常に等しければ、体積は等しい」
ということになります。