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[答794] 中線と二等辺三角形

ヤドカリ

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[答794] 中線と二等辺三角形


 △ABCの辺ACの中点をMとします。

 3辺の長さが自然数で AB=BM である最小面積の△ABCについて、AB,BC,CM の長さは?


[解答]

 AB=BM=a,BC=b,CM=c とすれば、AM=c です。 ( a,b,2c は自然数です )

 △BCAで 中線定理より、a2+b2=2(a2+c2) 、 b2=a2+2c2 です。

 ここで、(2c)2/2=(b+a)(b-a) が整数ですので 2c は偶数、c は自然数です。

 また、b+a,b-a は両方奇数か両方偶数で、(b+a)(b-a)=2c2 なので、b+a,b-a は両方偶数です。

 GCD(b+a,b-a)=2g とすれば b+a=2gp,b-a=2gq (p,q は互いに素な自然数) と書けて、

 a=g(p-q),b=g(p+q),2c2=4g2pq になります。

 (c/g)2/2=pq が自然数だから、c/g は偶数で、(c/g)2/2 も偶数です。

 p,q が互いに素であることを考慮すれば、p,q の一方が偶数で他方が奇数です。 

 pq/2={c/(2g)}2 が平方数ですので、k,n を互いに素として、

 p が偶数であれば p=2k2,q=n2 (n は奇数) と表され、

  a=g(2k2-n2),b=g(2k2+n2),c=2gkn 、 a+c>b だから k>n になります。

  k=m+n とおけば、

  a=g(2m2+4mn+n2),b=g(2m2+4mn+3n2),c=2g(m+n)n で、

  このとき、a2-(c/2)2=m(m+2n)(2m+n)(2m+3n) です。

 q が偶数であれば p=k2,q=2n2 (k は奇数) 、

  a=g(k2-2n2),b=g(k2+2n2),c=2gkn 、 a+c>b だから n>2k になります。

  k=m+2n とおけば、

  a=g(m2+4mn+2n2),b=g(m2+4mn+6n2),c=2g(m+2n)n で、

  このとき、a2-(c/2)2=m(m+n)(m+3n)(m+4n) です。

 まとめると、以下のとおりです。

 n は奇数,mとnは互いに素 として

  a=g(2m2+4mn+n2),b=g(2m2+4mn+3n2),c=2g(m+n)n,

  △ABC=2g2(m+n)n√{m(m+2n)(2m+n)(2m+3n)}

 m は奇数,mとnは互いに素として

  a=g(m2+4mn+2n2),b=g(m2+4mn+6n2),c=2g(m+2n)n,

  △ABC=2g2(m+2n)n√{m(m+n)(m+3n)(m+4n)}

 △ABC を 最小にするのは、g=m=n=1 のときで、

 前者では △ABC=12√5 、後者では △ABC=12√10 だから、

 前者の場合で、AB=a=7,BC=b=9,CM=c=4 です。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
綺麗なブルーの花!!
ツリガネソウの花に形が良く似ていますね
余り名前は良くわかりませんが
イワシャジン?でしょうか
小さな花なのにとても綺麗に撮れていますね♪

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

ツリガネニンジンでしょうか?
色がきれいですね~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

[解答」さらっと読ませていただきましたが、未消化です。さらに、読ませていただきます。

自分は、見えていた答(7,9,4)が探求の途中で出てきたので、それに甘んじ、止まってしまいました。
後刻、再思考したのですが、結局解けませんでした。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
ちょい疑問なんですが…
CM=c (c:自然数) とすぐ言えるのでしょうか知らん…^^;

わたしゃ…
c<b<a と勝手に置いてしまいましたが...正しかったのか判然としていません…Orz
で...a-c>=2
を使って余弦定理から求めました ^^v

風 草  
No title

イワシャジンでしょうか、釣鐘のような花が可愛いです。
青紫色の花は秋らしくていいですね。

ナイス☆

ニリンソウ  
No title

ツリガネニンジンと思います、この辺ではとうに
花は終わってますけど。

ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
ツリガネニンジンの花、仰るように小さな花です。
この花も、見ると秋を感じる花です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、ツリガネニンジンです。
色が綺麗で、私にとっても好きな花です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
整数解を一般解として求めていますので、面倒な解答になっています。
ゆっくりとご検討下さい。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
解答の3行目、 (2c)²/2=(b+a)(b-a) から、
2c が奇数にならないですね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
ツリガネニンジンの花です。
仰るとおり、青紫の花が秋らしさを感じさせます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
写真は1週間ほど前のものですが、
此方では秋の到来が遅いので、わりに綺麗に咲いていました。