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[答795] 重心と頂点の距離

ヤドカリ

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[答795] 重心と頂点の距離


 △ABC と その重心 G があり、GA=9/2,GB=7/2,GC=4 のとき AB=? また、△ABC の面積は?


[解答]

 AB の中点を M とすれば、GM=2 なので、△GAB で 中線定理より、

 GA2+GB2=2(GM2+AM2) 、2GA2+2GB2=4GM2+4AM2

 2(9/2)2+2(7/2)2=4・22+AB2 、AB=7 です。

 △GAB の3辺は 9/2,7/2,7 で、(9/2+7/2+7)/2=15/2 だから、ヘロンの公式により、

 △GAB=√{(15/2)(15/2-9/2)(15/2-7/2)(15/2-7)}=√{(15/2)・3・4(1/2)}=3√5 、

 △ABC=3△GAB=9√5 になります。


☆ AB の長さを求めずに △ABC の面積を求めるのであれば、平行四辺形APBG を作れば、

 △ABC=3△GAB=3△APG で、AP=7/2,PG=4,GA=9/2 となり、(7/2+4+9/2)/2=6 、

 △ABC=3√{6(6-7/2)(6-4)(6-9/2)}=3√{6(5/2)・2(3/2)}=9√5 です。

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Comments 10

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
この可憐な花の名前は無粋にて知りませんが…^^;
この問題は同じ図で考えましたぁ♪
面積は...ヘロンで求めてx3も了解ぃ~☆
わたしゃ...余弦定理で求めましたですが…^^ Orz~

ニリンソウ  
No title

白い萩でしょうか。
こちらは秋の進みが早いのでしょう、どの萩ももう種ですね。 気温はまだ暑いくらいなのに。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じ道を通りゴールしました。
ただし、△AGB*3=△ABCに気づくのに、少し間があき、最初は、
AB-C間の高さ、あるいはBCおよびCAの長さに触手しました。

☆印の事柄には気づきませんでした。
3本の中線の長さだけで面積が求まる事象、そしてその解法もスマートですね!

風 草  
No title

ピンクの萩は可愛く、白花萩は清楚で、どちらも綺麗です。

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
花の名前は萩です。白いのは清楚に感じます。
さて、同じ解くならできる限り簡潔なのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
此方ではちょっと衰えを感じますが、まだ萩は綺麗です。
ところで、まだ昼間は蒸し暑い日もありますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
長さもいろいろ求められますが、
できるだけ少ない手順で答を導きたいですね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
ピンクも白も秋を感じさせますね。
どちらもそれぞれの良さがあります。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
真っ白の萩の花
清楚で素敵ですね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ピンクの萩の花はよく見ますが、白が清楚な感じで好きです。
たくさん咲いていました。