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九点円と垂足三角形

ヤドカリ

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九点円
△ABCの垂心をH,頂点から対辺におろした垂線をAD,BE,CFとし、
BCの中点をL,CAの中点をM,ABの中点をN,
AHの中点をP,BHの中点をQ,CHの中点をR とすれば、
D,E,F,L,M,N,P,Q,R は同一円周上にあります。
この円を △ABCの九点円といいます。
九点円の半径は外接円の半径の 1/2 になります。


 △EHA∽△ECB で、対応する辺が垂直だから、Eからの中線 EP⊥EL になり、
 △FHA∽△FBC で、対応する辺が垂直だから、Fからの中線 FP⊥FL になり、
 ∠PDL=∠PEL=∠PFL=90゚ となって、PLを直径とする円周上に D,E,F があります。
 よって、PLは △DEFの外接円の直径になります。
 同様に、QM,RN も△DEFの外接円の直径になります。
 従って、D,E,F,L,M,N,P,Q,R は同一円周上にあり、これが △ABCの九点円です。
 また、△LMN∽△ABC で、相似比は 1:2 だから、
 △LMNの外接円の半径:△ABCの外接円の半径=1:2 になり、
 △LMNの外接円が△ABCのの九点円ですので、九点円の半径:外接円の半径=1:2 です。


垂足三角形
△ABCの頂点から対辺におろした垂線をAD,BE,CFとするとき、
△DEFを△ABCの垂足三角形と言い、△ABCの面積をS,外接円の半径をR とすれば、
垂足三角形の周囲の長さ EF+FD+DE は、EF+FD+DE=2S/R です。


 △ABCの外心をO とします。
 ∠CEB=∠CFB=90゚ だから 四角形CEFBは円に内接し、∠ABC=∠AEF 、
 ∠OCAは二等辺三角形だから、∠OAE=(180゚-∠AOC)/2=90゚-∠AOC/2=90゚-∠ABC=90゚-∠AEF 、
 ∠OAE+∠AEF=90゚ となって、OA⊥EF 、よって、四角形OEAF=OA・EF/2=EF・R/2 、
 同様に、四角形OFBD=FD・R/2 、四角形ODCE=DE・R/2 になります。
 S=四角形OEAF+四角形OFBD+四角形ODCE=EF・R/2+FD・R/2+DE・R/2=(EF+FD+DE)R/2 、
 EF+FD+DE=2S/R です。

 BC=a,CA=b,AB=c として三角関数を使って示せば
 AE=ABcosA,AF=ACcosA,△AEF∽△ABC だから、EF=BCcosA=a・cosA 、
 同様に、FD=b・cosB 、DE=c・cosC 、
 EF+FD+DE=a・cosA+b・cosB+c・cosC=a・cosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC=a・cosA+R(sin2B+sin2C)
  =a・cosA+R(sin2B+sin2C)=a・cosA+2Rsin(B+C)cos(B-C)=a・cosA+2RsinAcos(B-C)
  =-a・cos(B+C)+a・cos(B-C)=a{cos(B-C)-cos(B+C)}=a・2sinBsinC=(a・2RsinBsinC)/R
  =(ab・sinC)/R=2S/R です。


周囲の長さが最小の三角形
鋭角三角形ABCの辺BC上にD,辺CA上にE,辺AB上にF をとって、△DEFを作るとき、
周囲の長さ EF+FD+DE が最小になるのは、△DEFが△ABCの垂足三角形のときです。


 まず、辺BC上に点Dを固定し、辺ABに関してDと対称な点をS,辺ACに関してDと対称な点をT とすれば、
 EF+FD+DE=EF+FS+ET≧ST で、等号が成り立つのは、F,E が線分ST上にあるときです。
 すなわち、FをABとSTの交点,EをACとSTの交点のとき、EF+FD+DE は最小値 ST になります。
 また、△ASTは必ず 等辺が AD,頂角が 2∠BAC の二等辺三角形になるので、
 ST が最小になるのは AD が最小のとき、すなわち、AD⊥BC のときです。
 同時に、BE⊥AC ,CF⊥AB を満たせば、Eの取り方,Fの取り方としても EF+FD+DE は最小です。
 以下、右下図のように AD⊥BC ,FはABとSTの交点,EはACとSTの交点 として考えます。
 辺ACに関してBと対称な点をU とすれば、AC⊥BU で、ACとBUの交点を Xとします。
 △ABD≡△ABS≡△AUT に注意して、
 ∠ASB=∠AXB=90゚ だから、S,X は AB を直径とする円周上にあり、∠BXS=∠BAS 、
 ∠ATU=∠AXU=90゚ だから、T,X は AU を直径とする円周上にあり、∠UAT=∠UXT 、
 また、∠BAS=∠UAT だから、∠BXS=∠UXT になり、Xは 線分ST上にあることになり、
 Xは ACとSTの交点Eと一致します。
 よって、BE⊥AC となり、同様に、CF⊥AB も成り立ちます。
 結局、 △DEFの周囲の長さ EF+FD+DE が最小になるのは、△DEFが△ABCの垂足三角形のときです。

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Comments 10

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ヤドカリ  
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[800]の解答説明のための準備記事です。

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
釣り鐘の様な可愛い花ですネ!!
真っ白で妖精がかくれていそうです

花の名前が気になりますね♪
ナイス♪

ニリンソウ  
No title

800]の解答説明のための準備記事>数字見ただけで難しそう。
白い花が清楚ですね~
シャジンですかね。
ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
純白…綺麗ですね(o^-^o)

樹☆  
No title

こんにちは
日曜日に投稿とは珍しいと思ったら
準備記事とは・・真面目なやどかりさんらしいですね。

可愛いくて白いお花がすてきです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
イワシャジンの白花です。
形が整っていて綺麗です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
ミスの指摘も有難うございました。早速訂正しました。
このことを知っていれば、仰るとおり、瞬殺です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
仰るとおり、白花のイワシャジンです。
記事の内容には癒されないと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
貴女も白い花がお好きでしたね。
形も整っていて綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
日曜日は気が向けば投稿ということにしています。
形の整った白い花は特にいいですね。