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[答800] 傍心を頂点とする三角形の面積

ヤドカリ

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[答800] 傍心を頂点とする三角形の面積


 外接円の直径が 25 であり、BC+CA+AB=64 である △ABCの傍心をP,Q,R とするとき、

 △PQRの面積は?


[解答1]

 BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,△ABCの面積をS,外接円の半径をR とします。

 Pを中心とする傍接円の半径は S/(s-a) だから、△PBC=(1/2)aS/(s-a) になります。

 同様に、△PCA=(1/2)bS/(s-b),△PAB=(1/2)cS/(s-c) です。

 △PQR=△ABC+△PBC+△PCA+△PAB=S+(1/2)aS/(s-a)+(1/2)bS/(s-b)+(1/2)cS/(s-c)

  ={2+a/(s-a)+b/(s-b)+c/(s-c)}S/2={1+a/(s-a)+1+b/(s-b)+1+c/(s-c)-1}S/2

  ={s/(s-a)+s/(s-b)+s/(s-c)-1}S/2={1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)-1/s}sS/2

  ={1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)-1/s}sS/2

  ={s(s-b)(s-c)/S2+s(s-c)(s-a)/S2+s(s-a)(s-b)/S2-(s-a)(s-b)(s-c)/S2}sS/2

  ={s(s-b)(s-c)+s(s-c)(s-a)+s(s-a)(s-b)-(s-a)(s-b)(s-c)}s/(2S)

  ={(2s-a-b-c)s2+abc}s/(2S)=abcs/(2S)=4RSs/(2S)=2Rs=(a+b+c)R です。

 本問では、a+b+c=64,R=25/2 だから、△PQR=64・25/2=800 です。


[解答2]

 九点円と垂足三角形( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2213.html )の記事のように、

 △ABCは△PQRの垂足三角形だから、BC+CA+AB=2・△PQR/(△PQRの外接円の半径) 、

 すなわち、△PQR=(BC+CA+AB)(△PQRの外接円の半径)/2 です。

 △ABCの外接円は△PQRの九点円だから、△PQRの外接円の半径は△ABCの外接円の半径の2倍です。

 よって、△PQR=64・25/2=800 です。


☆ 一例として、3辺が 20,20,24 の三角形はこの条件に合います。 

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Comments 11

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ニリンソウ  
No title

台風の前兆ありますか!
要注意ですね、今日も休日でしょう

野菊の種類も良くわかりませんが
「ノコンギク」かな
ナイス

樹☆  
No title

こんにちは

これは紛らわしいお花ですね。
ヨメナ?ノコンギク?

今夜から近畿圏お出かけにはくれぐれも注意して
くださいね。

ひとりしずか  
No title

いい色!
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

今日は
ノコンギクでしょうか
紫の色が良いですネ
今彼方此方で咲いているようです

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
昨日から風がきつく、台風の前兆はありましたが、
これから直撃、未明まで猛烈な雨が続くとの予報です。
花は光の加減で輝いていますが、シオンだと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
秋はこの類の花が多いので迷いますが、シオンだと思います。
今夜は台風直撃のようで「お出かけ」はしませんのでご安心を。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
少し薄暗い所に光が差し込んで、輝いていたのを撮りました。
いい色になりました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
花はシオンだと思います。
此方でもあちこちで見られます。

樹☆  
No title

ふたたび・・
やどかりさん、岸和田に再々再上陸したけど・・
住まれてる場所はわかりませんし、方向音痴の
わたしです。
被害ないでしょうか。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難うございます。
岸和田に上陸ですか。
近い所ですが、こちらは雨が降り、涼しい風が吹いています。
台風とは思えないです。

樹☆  
No title

それはよかったです。

おやすみなさいまる