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[答801] 長方形の3等分

ヤドカリ

ヤドカリ



[答801] 長方形の3等分


 縦が 2,横が 60 の長方形の紙を 1辺が1の正方形 120個の方眼にし、下の3個の例のように、

 その線の一部をなぞって 面積が 40 の 3個の部分に分ける方法は何通り?

 ただし、対称移動で同じになる分け方でも別々に数えるものとします。


[解答1]

 一般化して 縦が 2,横が 3n の長方形を 面積が 2n の 3個の部分に分ける方法を求めます。

 3個の部分のうち 2個が 1×n の長方形である場合、A図と左右対称な図の 2通りです。

 3個の部分のうち 1個だけが 1×n の長方形である場合、(B図の緑色の部分)

  その長方形が左端から k~(k+2n-1) 番目のマスとすれば、2≦k,k+2n-1≦3n-1 だから、

  2≦k≦n になり、k は (n-2+1)=(n-1) 通り、

  上下両方を考えられるから、2(n-1) 通りです。

 3個の部分のいずれもが 1×n の長方形でない場合、x,y を 2n-1 以下の自然数として、

  左(C図の橙色)の部分の上段を x マスとすれば下段は 2n-x マス、

  中(C図の緑色)の部分の上段を y マスとすれば下段は 2n-y マス となり、

  x+y≦3n-1,(2n-x)+(2n-y)≦3n-1 だから、n+1≦x+y≦3n-1 です。

  また、中の部分の上段は左端から (x+1)~(x+y) 番目のマス、

  下段は左端から (2n-x+1)~(4n-x-y) 番目のマスで、

  上段と下段が方眼の横線を共有しなければならないので、

  x+1≦4n-x-y,2n-x+1≦x+y になり、(2n+1-y)/2≦x≦(4n-1-y)/2 です。

  ここで、(2n+1-y)/2≧{2n+1-(2n-1)}/2=1 ,(4n-1-y)/2≦(4n-1-1)/2=2n-1 ですので、

  1≦x≦2n-1 を満たします。

  また、(2n+1+y)/2≦x+y≦(4n-1+y)/2 です。

  ここで、(2n+1+y)/2≧(2n+1+1)/2=n+1 ,(4n-1+y)/2≦(4n-1+2n-1)/2=3n-1 ですので、

  n+1≦x+y≦3n-1 を満たします。

  y=1,2,……,2n-1 において、(2n+1-y)/2≦x≦(4n-1-y)/2 を満たす自然数 x の個数は、

  y が奇数のとき、(2n+1-y)/2≦x≦(4n-1-y)/2 より (4n-1-y)/2-(2n+1-y)/2+1=n 個、

  y が偶数のとき、(2n+2-y)/2≦x≦(4n-2-y)/2 より (4n-2-y)/2-(2n+2-y)/2+1=n-1 個、

  y=1,2,……,2n-1 において、奇数が n 個,偶数が n-1 個だから、 n2+(n-1)2 通りあります。

 すべての場合を加えると、2+2(n-1)+n2+(n-1)2=2n2+1 通りです。

 本問は n=20 の場合で、2・202+1=801 通りです。


[解答2]

 一般化して 縦が 2,横が 3n の長方形を 面積が 2n の 3個の部分に分ける方法を求めます。

 方眼の横線を 両端の 1 の長さを残して赤い線にします。

 A図,B図のように 1×n の長方形がある場合、

  残った長さ 1 の方眼の線 6n 本のうち1本を選んで、そこから左回り,右回りに 2n マス数えて

  3等分できます。同じ分け方を3回ずつ数えますので、6n/3=2n 通りです。

 C図のように 1×n の長方形がない場合、

  上半分の長さ 1 の方眼の線のうち2本を選んで、左の線から左回り,右の線から右回りに 2n マス

  数えて3等分するには、中の部分の上下が繋がらなければいけないので、

  左(C図の橙色)の部分の上段を x マスとすれば下段は 2n-x マス、

  右(C図のピンク)の部分の上段を y マスとすれば下段は 2n-y マス となり、

  0<x<2n,0<y<2n,x+y<3n,2n-x+2n-y<3n 、また、x+2n-y<3n,y+2n-x<3n です。

  まとめると、0<x<2n,0<y<2n,-x+n<y<-x+3n,x-n<y<x+n で、

  xy平面にこの領域を描けば、(0,n),(n,0),(2n,n),(n,2n) を頂点とする正方形の内部です。

  この正方形の面積は 2n2 で、辺上には 4n 個の格子点があるから、

  内部の格子点の数は、ピックの定理より 2n2+1-4n/2 です。

 両方の場合を加えると、2n+2n2+1-4n/2=2n2+1 通りです。

 本問は n=20 の場合で、2・202+1=801 通りです。

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Comments 17

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uch*n*an  
No title

この問題は C や H でスッキリと解けないかとしばし考えたですがうまくいかず,
地道に調べました。私の解法も二つで,考え方は若干違うかな,と思うものの,
おおよそ,(解法1)が[解答1],(解法2)が[解答2],でした。
もっとスッキリとした解法はないのでしょうか。

ニリンソウ  
No title

スカンポの花♂でしょうか。
大きくなるとイタドリと言った方がいいかな?
誰もマジマジと見てやらない花だと思う。

ナイス

たけちゃん  
No title

後付けで考えてみました.
後半がちょっと苦しいです.

左下隅のマス目を含む面積40の部分は,[解答2]の赤線で区切られたループで,
一続きの40マスにするしかなく,上段に進出するマス目数xが0~39より,40通り.
右上隅のマス目を含む面積40の部分も40通り.下段に進出するマス目数をyとする.
x,yの条件は,上段,下段で競合しないことからx+(40-y)≦60,(40-x)+y≦60.
残る領域を2つに分割しないことから,
x+y<60,(40-x)+(40-y)<60,ただし,(x,y)=(20,0)と(0,20)は許容.
つまり,(x,y)=(20,0)と(0,20)以外では,
20<x+y<60,-20≦x-y≦20.

たけちゃん  
No title

これを満たす領域は,一辺20√2の正方形となり,
領域は,その内部全体と,2辺(頂点以外)と,2頂点である.
もし,この領域が,隣接2辺とその間の頂点,および内部のみを含むとすれば,
この領域を,一辺の分(20,±20)ずつずらして無数の正方形を作り,
平面全体を覆うことができる.
各領域の含む格子点の数は同じだから,
領域に含まれる格子点の数は面積に一致して,800.
実際は,それより1つ多いので,801個.

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
イタドリの花でしょうか
咲き始めは真っ白ですが段々ピンク色に変わってきますね
此方でも今真っ盛りのようです

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...地道に数えるしかわからず…^^;
[解答2]は…面白そうですね☆…十分咀嚼できてませんけど…Orz

たけちゃんさんのピックの定理で…
一般に辺上に格子点がない正方形の面積=内部の格子点の数ってのは言えるんでしょうか知らん…?…
たとえば…20√2よりも少しだけ大きい1辺の正方形は内部の格子点が同じでも面積は異なりそうな気が…^^;...

アキチャン  
No title

こんばんわ。
綺麗ですね~♪(o^-^o)

スモークマン  
No title


イタドリと聞くと…
つい、個人的に愛飲(?)してるゴールデンバットに混ぜてあると思い出してしまいましたが…
今調べると…wiki記事内容が変わってて、どうも俗説だったらしいと判明…^^…

http://ja.wikipedia.org/wiki/イタドリより...
「若葉を揉んで擦り傷などで出血した個所に当てると多少ながら止血作用があり、痛みも和らぐとされる。これが「イタドリ」という和名の由来でもある。

戦時中、タバコの葉が不足した時に、イタドリなどを代用葉としてタバコに混ぜた。インドや東南アジアではイタドリの葉を巻いたものを葉巻の代用とする。」

なるほどぉ~っと一人で合点 Orz~♪

たけちゃん  
No title

私のは,ピックの定理を使ったわけではなく,
ある領域が面積Sで,N個の格子点を含み,
x,y方向とも,整数だけずらすことで平面全体を,
隙間なく重なりなく覆うことができるとき,
S=Nとなることを利用しています.
(ピックの定理についてくわしくは知らないので,もしかすると,
ピックの定理もそうした解釈が可能なのかもしれませんが...)

たけちゃん  
No title

例えば,議論の中の正方形を例にとります.
この正方形領域は,40*40の正方形に含まれ,面積は800.
含まれる格子点の個数をNとすると,
各格子点を中心とする正方形を並べたものは,面積はNであり,
領域の外にはみ出す面積,領域を覆わない面積とも,
2(40+40+2)=164を超えないことがすぐわかります.
ただし,これだけでは,
800-164≦N≦800+164という粗い評価しか得られません.
ところが,辺に沿って縦横(といっても斜めですが)1万個ずつを並べた
1億倍の大きさの領域においては,
面積は800億,格子点は(1億)Nであり,40万*40万の正方形に含まれるので,
800億-(160万4)≦(1億)N≦800億+(160万4)
となり,整数Nは800に限ることがわかります.

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
スッキリとは解けない問題だと思います。
図のCタイプのスッキリした考え方があればいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
あまり気にして見たことはありませんでしたが、
白い小さな花が目を引きました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
(x,y)の条件を領域に置き換える貴殿の発想が面白いです。
それで説明がスッキリしていればと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
そちらでもたくさん咲いているのですね。
此方では花が少しずつすくなくなりつつあります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
貴殿の疑問については↓にたけちゃんさんが書いてくれました。

イタドリは痛み取りの意味ですね。
私は戦時中のことは分かりませんが、
苦痛からの解放と嗜好には知恵が働きますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
野草もよく見ると魅力的な花を咲かせますね。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、再度のコメントを有難うございます。
ピックの定理では、頂点が格子点である多角形について、
面積=(内部の格子点の数)+(辺や頂点の格子点の数)/2-1
が言えます。
頂点が格子点である正方形を少し平行移動して、
辺上に格子点がなくなるようにすれば、
辺上にあった格子点を n個とすれば、
そのうちの n/2-1 個が内部に入るので、
内部の格子点の数と面積が等しくなります。