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[答802] 等脚台形の対角線の長さ

ヤドカリ

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[答802] 等脚台形の対角線の長さ


 AB=DC=89,ADとBCの長さが自然数,AD<BC,AC⊥BD である等脚台形ABCDにおいて、

 AD=? BC=? AC=?


[解答1]

 AからBCにおろした垂線の足をHとし、AH=a,BH=b とすれば、a2+b2=892 です。

 対角線が直交するので、△ABHをABがBDに重なるように移動すると 下図のように正方形を作れます。

 よって、BC=BH+HC=BH+AH=b+a ,AD=HC-BH=AH-BH=a-b となって、

 a=(BC+AD)/2 ,b=(BC-AD)/2 です。

 ここで、BC,ADの一方が偶数で他方が奇数であれば、

 自然数 A,B を用いて a=A-1/2,b=B-1/2 と表され、

 a2+b2=(A-1/2)2+(B-1/2)2=A(A-1)+B(B-1)+1/2 は自然数にならず、a2+b2=892 に反します。

 よって、a,b は自然数で、a2+b2=892 は奇数なので、a,bの一方が偶数で他方が奇数です。

 a,bのうち、偶数の方を c,奇数の方を d とすれば、c2=892-d2=(89+d)(89-d) だから、

 89+d,89-d の最大公約数を 2g とすれば、

 自然数 m,n (m>n) を用いて 89+d=2gm2,89-d=2gn2 と表され、

 89=g(m2+n2) になるから、(g,m,n)=(1,8,5) しかありません。

 89+d=2gm2=128 より d=39 、c2=(89+d)(89-d)=2gm2・2gn2 より c=2gmn=80 です。

 a>b だから、a=c=80,b=d=39 、AD=a-b=41,BC=a+b=119 です。

 また、1辺が a である正方形の対角線を考え、 AC=a√2=80√2 です。


[解答2]

 下図のように、(BC2+AD2)/2=AB2 だから、

 BC2+AD2=2・892 、(BC+89)(BC-89)=(89+AD)(89-AD) です。

 BC+89,89+AD の最大公約数を g とすれば、互いに素な自然数 m,n (m>n)を用いて、

 BC+89=mg,89+AD=ng とすれば、BC-89=nh,89-AD=mh と表せます。

 178=mg-nh,178=ng+mh になり、

 m(g-h)=n(g+h) だから、m,n が互いに素なので、g-h=kn,g+h=km と表せます。

 2g=k(m+n),2h=k(m-n) になり、356=2mg-2nh=mk(m+n)-nk(m-n)=k(m2+n2) 、

 (k,m,n)=(4,8,5) しかありません。

 g-h=kn=20,g+h=km=32 となって、g=26,h=6 、89+AD=ng=130,BC+89=mg=208 、

 AD=41,BC=119 です。

 また、ACは1辺が (AD+BC)/2=80 の正方形の対角線と等しく AC=80√2 です。


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 AD=a,BC=b,a,b は a<b となる自然数,とします。

 a2+b2=2・892,1≦a≦88 。

 ここで,x=a/89,y=b/89,とおくと, x2+y2=2

 そこで,a,b を求めるには,この方程式の 0<x<1 の有理数解を求めればいいです。

 (x,y)-座標平面上のグラフを考え,(x,y)=(-1,-1) は解より,y=t(x+1)-1 とおくと,

 x,y が有理数の範囲で考えるので,t は 1<t<√2+1 の有理数としてよく,

 x2+{t(x+1)-1}2=2,(t2+1)x2+(2t2-2t)x+(t2-2t-1)=0,(x+1){(t2+1)x+(t2-2t-1)}=0,

 x=(1+2t-t2)/(1+t2),y=(-1+2t+t2)/(1+t2)

 これより,m,n を互いに素な自然数,t を有理数 m/n,(√2-1)m<n<m,として,

 a/89=x=(-m2+2mn+n2)/(m2+n2),b/89=y=(m2+2mn-n2)/(m2+n2)

 ここで,m,n は互いに素,なので,

 GCD(-m2+2mn+n2,m2+n2)=GCD(m2+2mn-n2,m2+n2)

  =GCD(2(m-n),m2+n2)=GCD(2(m-n),(m-n)2+2mn)

 そこで,GCD は,m,n がともに奇数の場合は 2,それ以外は 1,になります。

 このことに注意すると,k を自然数として,次のようになります。

 m,n がともに奇数の場合

  a=k(-m2+2mn+n2)/2,b=k(m2+2mn-n2)/2,89=k(m2+n2)/2

  89 は素数で,m2+n2≧5 なので,k=1,m2+n2=89・2=178,となり,

  これを満たす解は,m=13,n=3,だけですが,m,n の範囲を満たさず,不可。

 m,n が奇数と偶数の場合

  a=k(-m2+2mn+n2),b=k(m2+2mn-n2),89=k(m2+n2)

  89 は素数で,m2+n2≧5 なので,k=1,m2+n2=89,となり,

  これを満たす解は,m=8,n=5,だけです。このとき,a=41,b=119,です。

  そこで,AD=41,BC=119,AC=80√2,になります。


[参考] 寄せられたのコメントを参考に追加解説

 ガウス整数環 Z(i)={a+bi|a,b は有理整数} の素因数分解の一意性を利用すれば、

 BC2+AD2=2・892 (BC,AD は自然数,BC>AD)を解くのに、

 2・892=-i(1+i)2(8+5i)2(8-5i)2 と素因数分解でき、

 BC2+AD2=(BC+ADi)(BC-ADi) (BC>AD) だから、

 2・892=-i(1+i)2(39+80i)(39-80i)=-i(-41+119i)(119-41i)=(119+41i)(119-41i)

 と変形したときだけ、(BC+ADi)(BC-ADi) (BC>AD) の形に表され、(BC,AD)=(119,41) です。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます
寒くなりました。風邪など引かぬように
ご注意ください。
もっとも秋らしい花です。
透き通るはなびらも美しいです。

ニリンソウ  
No title

キバナコスモスでなくて黄色コスモス。
爽やかなレモン色がいいですね。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

黄色?クリーム色ではないですね。
優しげな色のコスモス素敵です。
まだこんなにしっかりと咲いているんですね。
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

今日は
淡い黄色のコスモス 可愛いですネ
生駒高原で昨年見かけたのですが
今年は出かけることが出来なくて見てません

優しい色に癒されますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
本当に寒くなりましたね。
とは言っても、↓にコメントをくれている ゆうこさんの所に
比べれば大したことはないのでしょう。
イエローキャンパスの上品な黄色はいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
黄色のコスモスは日本でできたそうですね。
イエローガーデンは黄色が薄く、
品種改良してイエローキャンパスができたそうです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
こちらは今でもコスモスはよく見られます。
もちろん、其方のように、紅葉の見頃になると
コスモスはもう終わっています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
この頃、イエローキャンパスもよく見られるようになりました。
生駒高原はコスモスの名所ですね。
コスモスの季節に訪れたことはないのですが、
写真では見たことがあります。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
難しくって…計算させちゃいましたが Orz…
[解答1]はなんとかトレースできるも...他は難度高し ^^;
複素数の因数分解という手は上手いですね☆
but...2=i*(1+i)^2 ってのは…思いつけない…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
ガウス整数の素因数分解については難しいですね。
ま、こんな世界もあるということです。