FC2ブログ

Welcome to my blog

[答803] 裁ち合わせ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答803] 裁ち合わせ


 図のように、正方形を合同な2つの部分に分け、並べかえて、長方形の穴のあいた長方形にします。

 穴の面積を 40 とするとき、切る折れ線の長さ(赤の線の長さ)が最も短い正方形の1辺は?

 また、その正方形を切る折れ線の長さは?


[解答1]

 図のように、正方形の1辺を 4d ,

 切る折れ線の長さを L ,そのうち 横の線の長さを a+b,b,b+a とします。

 まず、L=2a+3b+2d=4d-b+3b+2d=2b+6d 、よって b=L/2-3d です。

 正方形の1辺は 2a+b=4d 、よって a=2d-b/2=2d-(L/2-3d)/2=7d/2-L/4 です。

 また、穴の面積は (a+2b)d=40 だから、{(7d/2-L/4)+2(L/2-3d)}d=40 、

 {(14d-L)+2(2L-12d)}d=160 、10d2-3Ld+160=0 になります。

 これを d の2次方程式とみて、d が実数であれば、解と係数の関係より d>0 になります。

 判別式は (3L)2-6400≧0 だから、L≧80/3 で、最小の L は、L=80/3 です。

 このとき、10d2-3Ld+160=0 より、

 10d2-80d+160=0 、(d-4)2=0 、d=4 、正方形の1辺は 4d=16 です。

 なお、a=7d/2-L/4=7・4/2-80/3/4=22/3,b=L/2-3d=80/3/2-3・4=4/3 になります。


[解答2]

 図のように、正方形の1辺を 4d ,

 切る折れ線の長さを L ,そのうち 横の線の長さを a+b,b,b+a とします。

 まず、L=2a+3b+2d=4d-b+3b+2d=2b+6d 、よって b=L/2-3d です。

 正方形の1辺は 2a+b=4d 、よって a=2d-b/2=2d-(L/2-3d)/2=7d/2-L/4 です。

 また、穴の横の長さは a+2b=40/d だから、(7d/2-L/4)+2(L/2-3d)=40/d 、

 14d-L+4L-24d=160/d 、3L=10(d+16/d)≧10・2√(d・16/d)=80 、

 これは、d=16/d すなわち d=4 のとき L の最小値が 80/3 を表します。

 正方形の1辺が 4d=16 のとき、折れ線の長さの最小値は 80/3 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
もう、咲いているのですね!
見つけましょう(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
フジバカマでしょうか!?
今は此の花の蜜を求めて ま沢山のアサギマダラがやって来ていますね
ナイス♪

ニリンソウ  
No title

これもフジバカマ? 白ですか
ヒヨドリバナのようですね。

ナイス

樹☆  
No title

こんにちは
白のフジバカマですか?
風情があっていいですねぇ^^ナイス

tsuyoshik1942  
No title

最初、方眼紙を使い、実際にいくつかの裁ち合わせを試み、諸所の長さの相関をつかみました。

計算は、「解答」と同じく正方形の一辺を4dと置いたのですが、
他の未知数の取り方が悪かったのか、最後に収束した式の分母に[d]が残ってしまいました。
それを微分し、d=4を得ました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
ヒヨドリバナも咲いていました。
真っ白で綺麗です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
フジバカマもヒヨドリバナ属ですのでよく似ています。
素朴な感じがします。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
仰るとおり、ヒヨドリバナです。
この写真では葉が見えにくいので区別は難しいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
白のヒヨドリバナです。
野生種のフジバカマはほとんど見られませんが、
ヒヨドリバナはよく見られます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
私は方眼紙は使いませんが、
エクセルのセルの縦横を同じにして図を描くことが多いです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは算数チックな問題でしたのに…☆
わからず...式変形から求めましたぁ ^^;v
折れ線がMaxのときは…8d^2=40…正方形の1辺=4√5
折れ線の長さ=14√5 に限りなく近づいた値になりますのよね ^^
最短の折れ線の長さだけなら…6d
このときは,真ん中にスペースができない…
から…
[別解]…実質同じですが...文字数が2個ですむので ^^
中心からxだけ伸ばすと…d(4d+2x-(2d-x))=d(2d+3x)=40
折れ線の長さ=6d+4x=6d+(4/3)(40/d-2d)=(10/3)d+(160/3)(1/d)
>=2*40/3=80/3
等号は、(10/3)d=(160/3)(1/d)…d=4
Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
パズルのような問題ですが、けっこう数学を使います。
パズルも難しい問題も多いです。