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[答805] 200個のサイコロ

ヤドカリ

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[答805] 200個のサイコロ


 200個のサイコロを同時に振った時の目の和が S である確率を P(S) (S=200,201,……,1200) とします。

 また、200個のサイコロを 85個と115個に分けて別々に振ったときに、

 分けた85個のサイコロの目の和と115個のサイコロの目の和とが等しい確率を P とします。

 P(S)=P を満たすとき、S=?

 サイコロを投げるとき、1~6の目が均等に出るものとします。


[解答]

 P(S) は 200≦S≦700 のとき単調増加,700≦S≦1200 のとき単調減少で、

 P(S)=P(7・200-S) であることに注意しておきます。

 ( これは感覚的に分かることですが、[参考]のように説明できます )

 85個の目の和が n である確率を p(n) とすれば、n<85,510<n のとき p(n)=0 になり、

 85≦n≦510 を満たす自然数 n について、85個のサイコロの目を a1,a2,a3,……,a85 とすれば、

 a1+a2+a3+……+a85=n である確率と (7-a1)+(7-a2)+(7-a3)+……+(7-a85)=n である確率は等しく、

 (7-a1)+(7-a2)+(7-a3)+……+(7-a85)=n を a1+a2+a3+……+a85=595-n と書き直せば、

 p(n)=p(595-n) が成り立つことが分かります。

 115個の目の和が n である確率を q(n) とすれば、n<115,690<n のとき q(n)=0 ですので、

 P=p(115)q(115)+p(116)q(116)+p(117)q(117)+……+p(510)q(510)

  =p(480)q(115)+p(479)q(116)+p(478)q(117)+……+p(85)q(510)=P(595) です。

 また、P(595)=P(7・200-595)=P(805) です。

 結局、P(S)=P を満たすときの S は、S=595,805 です。


[参考]

 n,S を自然数,n≦S≦6n として、

 n個のサイコロを同時に振った時の目の和が S である確率を p(n,S) とします。

 n個のサイコロ目 a1,a2,a3,……,an

 n個のサイコロ目 7-a1,7-a2,7-a3,……,7-an を対応させることにより、

 p(n,S)=p(n,7n-S) であることが分かります。

 次に、2以上のすべての自然数nについて、n≦S≦7n/2 で p(n,S) が単調増加であることを

 数学的帰納法で示します。

 p(2,2)=1/36,p(2,3)=2/36,p(2,4)=3/36,p(2,5)=4/36,p(2,6)=5/36,p(2,7)=6/36

 ( p(2,8)=5/36,p(2,9)=4/36,p(2,10)=3/36,p(2,11)=2/36,p(2,12)=1/36 )

 ですので、2≦S≦7=7・2/2 で p(2,S) は単調増加です。

 k≦S≦7k/2 のとき p(k,S) が単調増加であれば、X<k において p(k,X)=0 と定義して、

 p(k+1,S)=p(k,S-6)/6+p(k,S-5)/6+……+p(k,S-2)/6+p(k,S-1)/6 ,

 p(k+1,S-1)=p(k,S-7)/6+p(k,S-6)/6+……+p(k,S-3)/6+p(k,S-2)/6

 よって、p(k+1,S)-p(k+1,S-1)=p(k,S-1)/6-p(k,S-7)/6 になり、

 p(k,S-1)>p(k,S-7) になるのは、( p(k,X)=p(k,7k-X) に注意して )

 S-1<7k-(S-7) 、S<7k/2+4≦7(k+1)/2 だから、

 p(k+1,S) は S≦7(k+1)/2 で 単調増加になります。

 よって、2以上のすべての自然数nについて、n≦S≦7n/2 で p(n,S) は単調増加です。

 なお、p(n,S)=p(n,7n-S) より 7n/2≦S≦6n のとき p(n,S) が単調減少です。

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Comments 13

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
またまた
初めまして・・のお花かもしれません。
下向きに咲くのですか?

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
朝の空に白鳥が飛んでいきました~

キバナジョウロウホトトギス?
園芸店でみるだけですが自生もあるのかな?
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」を何回か読ませていただきましたが、分からずじまいです。
どなたか、追加説明をしていただけると、大変うれしいです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはどのように考えればいいのかわからくって撃チ~ン…^^;

平均が3.5なので、200*3.5=700をピークとした対称な得点頻度グラフになるわけですね…
上の解説より…85個のサイコロの和=T(85)のとき、
また、85+115=200 だから、
P(T(85))=P(7*85)=P(595)
P(T(115))=P(7*115)=P(805)
これらは、700±105であり、対称性からP(595)=P(805) になってるわ…☆…と理解しましたです ^^;v
複雑そうな確率問題に思えたんですが狐につままれたような気がします…^^;;…Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ホトトギスで検索しても中々此のホトトギスを探し当てることは出来ませんでした
一杯種類があるのにどんな花でもネットや図鑑で調べるのは難しいですね

ヤドカリ  
No title


写真の花はキイジョウロウホトトギスです。
「山里の貴婦人」とも呼ばれ優雅に咲きます。
紀伊は紀伊半島、上臈は優雅な貴婦人という意味です。
熊野古道で有名な和歌山県の熊野に
「キイジョウロウホトトギスの里」があり、
イベントが催されるそうです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、キイジョウロウホトトギスです。
釣鐘のように俯いて咲きます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
上に書きましたように、熊野では自生しているようです。
黄色が緑の葉と相まって綺麗です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
表現が分かりにくく、端折ったところもありましたので、
一部分を書き換えました。
もう一度ご覧下さい。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
設定が複雑なので、正確に解答を書くと煩雑になりますが、
答はシンプルですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
これを調べるのは難しいと思います。
名前の由来が分かっていれば、覚えやすいですね。

tsuyoshik1942  
No title

スモークマンさん、ヤドカリさん対応ありがとうございます。
恥ずかしながら、今はまだスッキリしませんが、時間を空け考えると、スーと霧が晴れるような気がします。
何はともあれ、ありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[解答]を読むより、
チラ見しながら考える方が分かりやすいかも知れません。
気が向けばまたご覧下さい。