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[答76] 2乗して末尾が一致

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答76] 2乗して末尾が一致

 (1) 252=625 で、25は2乗しても下2桁はもとの25です。この性質をもつ他の2桁の数は?

 (2) 2乗して下3桁がもとの数になる3桁の数は?

 [追記] あるサイトに、Automorphic numbers: n2 ends with n. と説明がありました。



[解答]

 (1) 求める数をnとすると、n2-n が100の倍数、すなわち、n(n-1) が100の倍数です。

   nと(n-1)は1違いだから、片方が奇数で他方が偶数です。

   それの積が100の倍数だから、奇数の方は25の倍数で偶数の方は4の倍数で、

   n=25, n-1=24 と n=76, n-1=75 しかありません。

   したがって、n=25 以外の答は n=76 です。

 (2) (1)と同様に、nと(n-1)の、片方が奇数で125の倍数、他方が8の倍数でとしても求められますが、

   別の方法を示します。

   3桁の数の下2桁が 25 または 76 だから、

   下2桁が 25 の方は、n=100a+25 とすれば、n2=(100a+25)2=10000a2+5000a+625 だから、

   625-(100a+25)=100(6-a) は 1000 の倍数だから a=6, n=625 です。

   下2桁が 76 の方は、m=100b+76 とすれば、m2=(100b+76)2=10000b2+15200b+5776 だから、

   (200b+776)-(100b+76)=100(b+7) は 1000 の倍数だから b=3, m=376 です。

   したがって、答は 625, 376 です。


[追記1]

 この方法を使えば、0で始まる数も認めると、

 2桁以上のk桁のもの ak から、(k+1)桁のもの ak+1 を求める方法は、

 1の位が5のものは、ak+1 は、ak2 の下(k+1)桁であり、

 1の位が6のものは、ak+1 は、ak2 の下(k+1)桁の首位を「1⇔9, 2⇔8, 3⇔7, 4⇔6」と書き換えたもの、

 と、いうことになります。

 4桁の以上の数は、

 6252=390625 ⇒ 0625 、06252=390625 ⇒ 90625 、906252=8212890625 ⇒ 890625 、……

 3762=141376 ⇒ 9376 、93762=87909376 ⇒ 09376 、93762=87909376 ⇒ 109376 、……

 と、なります。


[追記2] この追記は、uch*n*anさんがコメントしてくれたものを短くまとめたものです。

 2桁以上のk桁のもの ak から、2k 桁のもの a2k を一気に求める方法は、

 ak2-ak=ak(ak-1) は 10k の倍数で、

 ak と ak-1 は互いに素だから、一方が 2k の倍数、他方が 5k の倍数となります。

 a2k を ak と1の位が同じものとして、a2k , a2k-1 の、一方が 22k の倍数、他方が 52k の倍数。

 したがって、

 a2k(ak-1)2 , (a2k-1)ak2 は共に、102k の倍数。

 mod 102k として、合同式で表すと、

 a2k(ak-1)2 ≡ 0 , a2kak2 ≡ ak2

 ここで、(x-1)2(px+q)+x2(rx+s)=1 が恒等式になるように p,q,r,s を定めると、

 (x-1)2(2x+1)+x2(-2x+3)=1 を得ます。

 a2k{(ak-1)2(2ak+1)+ak2(-2ak+3)} ≡ ak2(-2ak+3)

 a2k ≡ ak2(-2ak+3)

☆ この方法を使えば、a3k 等を求める式もできます。


[追記3]

 k桁のものを m,n(1の位は一方5で他方が6)とすれば、

 m2-m , n2-n のいずれも 10k の倍数だから、差をとって、

 (m2-m)-(n2-n)=(m-n)(m+n-1) が 10k の倍数、

 m-n の1の位は1か9なので、m+n-1 が 10k の倍数、しかも m,n はk桁なので、

 m+n-1=10k、m+n=10k+1 となって、片方から他方が求められます。


[追記4]

 100桁のものを10桁ずつに区切って記しておきます。100桁未満のn桁のものはその下n桁です。

   3953007319 1081698029 3850989006 2166509580 8638110005
   5742342323 0896109004 1066199773 9225625991 8212890625

   6046992680 8918301970 6149010993 7833490419 1361889994
   4257657676 9103890995 8933800226 0774374008 1787109376

 n桁のものは首位が0のものを認めれば2個ずつあります。

 もっと長い桁のものは ⇒ https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-222.html

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Comments 8

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uch*n*an  
No title

なるほど。この方が,私のよりも理路整然としていて簡明ですね。勉強になります。

アキチャン  
No title

おはようございます。
いくらでもあるのですね・・きりのない数字の世界!!
お花・・・きれいですね (o^-^o)

スモークマン  
No title

おはようございます ^^
なるほど...次から次にいくらでも求められるんだ♪
でも...なんで2個なんだろ...^^;?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
k桁から(k+1)桁が分かっていましたので、k桁から2k桁は端から考えていませんでした。
おかげで、勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
長居植物園(ご存知ですね)で撮った花です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、グーテンで始まっていないので、貴殿のコメとは思いませんでした。
2桁以上で2つずつあるのは、追記1で明らかでしょう。
2個ずつという美しい結果になったのは神様の仕業ですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^;
下一桁が 6 のものは...上一桁が5になるものはないのかな...あるとしたら...7^2=49 のときくらいだけど...?
驚愕の10000桁の数字拡大してみると...5で始まるものもあるようですね♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、k桁を2乗すると 2k桁ぐらい、その下(k+1)桁をとるので、
7^2=49 とは関係ないと思います。
10000桁は以前にプログラムしてPCに計算させたものです。