[答76] ２乗して末尾が一致

'


[答76] ２乗して末尾が一致

　(1) 25²＝625 で、25は２乗しても下２桁はもとの25です。この性質をもつ他の２桁の数は？

　(2) ２乗して下３桁がもとの数になる３桁の数は？

　[追記] あるサイトに、Automorphic numbers： n² ends with n. と説明がありました。



[解答]

　(1) 求める数をｎとすると、n²－n が100の倍数、すなわち、n(n－1) が100の倍数です。

　 　nと(n－1)は1違いだから、片方が奇数で他方が偶数です。

　 　それの積が100の倍数だから、奇数の方は25の倍数で偶数の方は4の倍数で、

　 　n＝25, n－1＝24 と n＝76, n－1＝75 しかありません。

　 　したがって、n＝25 以外の答は n＝76 です。

　(2) (1)と同様に、nと(n－1)の、片方が奇数で125の倍数、他方が8の倍数でとしても求められますが、

　 　別の方法を示します。

　 　３桁の数の下２桁が 25 または 76 だから、

　 　下２桁が 25 の方は、n＝100a＋25 とすれば、n²＝(100a＋25)²＝10000a²＋5000a＋625 だから、

　 　625－(100a＋25)＝100(6－a) は 1000 の倍数だから a＝6, n＝625 です。

　 　下２桁が 76 の方は、m＝100b＋76 とすれば、m²＝(100b＋76)²＝10000b²＋15200b＋5776 だから、

　 　(200b＋776)－(100b＋76)＝100(b＋7) は 1000 の倍数だから b＝3, m＝376 です。

　 　したがって、答は 625, 376 です。


[追記1]

　この方法を使えば、0で始まる数も認めると、

　２桁以上のｋ桁のもの a_k から、(k＋1)桁のもの a_k+1 を求める方法は、

　１の位が５のものは、a_k+1 は、a_k² の下(k＋1)桁であり、

　１の位が６のものは、a_k+1 は、a_k² の下(k＋1)桁の首位を「1⇔9, 2⇔8, 3⇔7, 4⇔6」と書き換えたもの、

　と、いうことになります。

　４桁の以上の数は、

　625²＝390625 ⇒ 0625 、0625²＝390625 ⇒ 90625 、90625²＝8212890625 ⇒ 890625 、……

　376²＝141376 ⇒ 9376 、9376²＝87909376 ⇒ 09376 、9376²＝87909376 ⇒ 109376 、……

　と、なります。


[追記2] この追記は、uch*n*anさんがコメントしてくれたものを短くまとめたものです。

　２桁以上のｋ桁のもの a_k から、2k 桁のもの a_2k を一気に求める方法は、

　a_k²－a_k＝a_k(a_k－1) は 10^k の倍数で、

　a_k と a_k－1 は互いに素だから、一方が 2^k の倍数、他方が 5^k の倍数となります。

　a_2k を a_k と１の位が同じものとして、a_2k , a_2k－1 の、一方が 2^2k の倍数、他方が 5^2k の倍数。

　したがって、

　a_2k(a_k－1)² , (a_2k－1)a_k² は共に、10^2k の倍数。

　mod 10^2k として、合同式で表すと、

　a_2k(a_k－1)² ≡ 0 , a_2ka_k² ≡ a_k²

　ここで、(x－1)²(px＋q)＋x²(rx＋s)＝1 が恒等式になるように p,q,r,s を定めると、

　(x－1)²(2x＋1)＋x²(－2x＋3)＝1 を得ます。

　a_2k{(a_k－1)²(2a_k＋1)＋a_k²(－2a_k＋3)} ≡ a_k²(－2a_k＋3)

　a_2k ≡ a_k²(－2a_k＋3)

☆ この方法を使えば、a_3k 等を求める式もできます。


[追記3]

　k桁のものを m,n(１の位は一方５で他方が６)とすれば、

　m²－m , n²－n のいずれも 10^k の倍数だから、差をとって、

　(m²－m)－(n²－n)＝(m－n)(m＋n－1) が 10^k の倍数、

　m－n の１の位は１か９なので、m＋n－1 が 10^k の倍数、しかも m,n はｋ桁なので、

　m＋n－1＝10^k、m＋n＝10^k＋1 となって、片方から他方が求められます。


[追記4]

　100桁のものを10桁ずつに区切って記しておきます。100桁未満のｎ桁のものはその下ｎ桁です。

　 　3953007319 1081698029 3850989006 2166509580 8638110005
　 　5742342323 0896109004 1066199773 9225625991 8212890625

　 　6046992680 8918301970 6149010993 7833490419 1361889994
　 　4257657676 9103890995 8933800226 0774374008 1787109376

　ｎ桁のものは首位が0のものを認めれば２個ずつあります。

　もっと長い桁のものは ⇒ https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-222.html