FC2ブログ

Welcome to my blog

[答806] 最大値

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答806] 最大値


 x,y,z は実数 ,2x2+3y2+4z2=3200 のとき、4x+3y+2z の最大値は?


[解答1]

 4x+3y+2z=k とおけば、2z=k-3y-4x 、

 2x2+3y2+4z2=3200 に代入して、

 2x2+3y2+(k-3y-4x)2=3200 、

 2x2+3y2+(k-4x)2+6(k-4x)y+9y2=3200 、

 12y2+6(k-4x)y+(18x2-8kx+k2-3200)=0 、

 y は実数だから、判別式は、

 {3(k-4x)}2-12(18x2-8kx+k2-3200)≧0 、24x2-8kx+k2-12800≦0 、

 x は実数だから、判別式は、

 (4k)2-24(k2-12800)≧0 、k2≦38400 、|k|≦80√6 、

 よって、k=4x+3y+2z の最大値は 80√6 です。

 等号が成り立つのは、

 24x2-8kx+k2-12800=0 ,12y2+6(k-4x)y+(18x2-8kx+k2-3200)=0 のとき、

 k=80√6,24x2-8kx+k2-12800=0 より x=8k/(2・24)=k/6=(40√6)/3 、

 k=80√6,x=(40√6)/3,12y2+6(k-4x)y+(18x2-8kx+k2-3200)=0 より

 y=6(k-4x)/(2・12)=k/4-x=(20√6)/3 、このとき z=(k-3y-4x)/2=(20√6)/3 で、

 まとめると、x=(40√6)/3,y=(20√6)/3,z=(10√6)/3 のときです。


[解答2]

 任意の実数 k について、次の式が成り立ちます。

 2x2-4kx+2k2=2(x-k)2≧0 、

 3y2-3ky+3k2/4=3(y-k/2)2≧0 、

 4z2-2kz+k2/4=4(z-k/4)2≧0 、

 よって、(2x2+3y2+4z2)-(4x+3y+2z)k+3k2≧0 、

 3200-(4x+3y+2z)k+3k2≧0 になります。

 任意の実数 k について この式が成り立つから判別式は、

 (4x+3y+2z)2-4・3・3200≦0 、|4x+3y+2z|≦80√6 、

 よって、4x+3y+2z の最大値は 80√6 です。

 等号が成り立つのは、3200-(80√6)k+3k2=0 より k=(40√6)/3 、

 x=k=(40√6)/3,y=k/2=(20√6)/3,z=k/4=(10√6)/3 のときです。


[解答3]

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (42/2+32/3+22/4)(2x2+3y2+4z2)≧(4x+3y+2z)2

 12・3200≧(4x+3y+2z)2 、|4x+3y+2z|≦(2√3)(40√2)=80√6 、

 よって、4x+3y+2z の最大値は 80√6 です。

 等号が成り立つのは、(√2)x:(√3)y:(√4)z=4/√2:3/√3:2/√4 のとき、

 すなわち、x:y:z=4/2:3/3:2/4=4:2:1 、x=4z,y=2z のときだから、

 4x+3y+2z=80√6 に代入して、24z=80√6 、z=(10√6)/3 になって、

 x=(40√6)/3,y=(20√6)/3,z=(10√6)/3 のときです。


[解答4]

 x=X/√2,y=Y/√3,z=Z/2,4x+3y+2z=k とおいて、

 X2+Y2+Z2=3200 のときの (2√2)X+(√3)Y+Z=k の最大値を求めます。

 XYZ平面において、球面 X2+Y2+Z2=3200 と 平面 (2√2)X+(√3)Y+Z=k が

 共有点をもつのは、球の中心(0,0,0)と平面の距離が半径以下のときだから、

 |k|/√{(2√2)2+(√3)2+12}≦40√2 、|k|/(2√3)≦40√2 、

 |k|≦(2√3)(40√2)=80√6 、よって、k=4x+3y+2z の最大値は 80√6 です。

 等号が成り立つのは、

 ベクトル(X,Y,Z)と平面の法線ベクトル((2√2),(√3),1)が平行なときで、X=(2√2)Z,Y=(√3)Z 、

 (2√2)X+(√3)Y+Z=80√6 に代入して 8Z+3Z+Z=80√6 、Z=(20√6)/3 、

 x=X/√2=2Z=(40√6)/3,y=Y/√3=Z=(20√6)/3,z=Z/2=(10√6)/3 のときです。

.

スポンサーサイト



Comments 19

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

あぁ~名前がでてこない・・
びっしりすごいですね!
ナイス☆

ひとりしずか  
No title

イタドリでしょうか?

ニリンソウ  
No title

実かな?花かな?
イタドリもオトコエシも実はこんなですが

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答4」でした。
ただし、答を算出する詰めの部分はもっとぎこちない手法でした。

他の方法も、皆すんなりですね!
「解答3」は理解できておりません。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

緑のお花、何でしょう・・・
イタドリではないし・・・
珍しいお花にナイス☆
緑色のお花って好みです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答3]でしたが…内積で理解してますから…覚えなくてもすんでます ^^…
(√2*x,√3*y,2z)*(2√2,√3,1)
=4x+3y+2z
=√(2x^2+3y^2+4z^2)*√(8+3+1)*cosθ
<=√3200*√12
等号は、それぞれが平行なとき(cosθ=0)で、x/2=y=2z

[解答4]は使い方が慣れてない=理解不十分のまま…です…^^;...基本的な方法でも十分解けるのねぇ☆ [解答2]はお気に入り♪
Orz~

樹☆  
No title

こんばんは
♬グリーングリーンの鮮やかです。
これはお花ですか?ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
オトコエシ(野郎花)です。
白い花は見えませんでしたが、緑が鮮やかでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
オトコエシです。実だと思います。
遅かったのか、白い花が咲いている姿は見えませんでしたが、
鮮やかな緑でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
[解答3]はコーシー・シュワルツの不等式そのものです。
宜しければ、調べてみてください。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
白い花びらは見られませんでしたが、オトコエシです。
多分、花が落ちてすぐ、まだ緑の濃い実だと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
コーシー・シュワルツの不等式から内積を定義すれば、
何次元でも扱えます。
それが[解答2]の判別式を使う方法です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
オトコエシの白い花がなくなった姿です。
まだ熟していないので、グリーングリーンです。

樹☆  
No title

ああぁ~~そうだったんですか。。
花がある、なしで全然違うお花を想像してました。
あはは

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難うございました。
白い花と雰囲気が全然違いますね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
男郎花の花でしたか
イタドリにも似ていますね
緑色も奇麗ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
虎杖も同じような実が付きますが、葉が違います。
緑が目立ちました。

風 草  
No title

オトコエシの実は初めて見ます。
小さな緑の実がたくさんなるんですね。
花ばかりでなく、花後も観察すると面白いですね。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
オトコエシの花を今年は見逃しました。
でも、緑が鮮やかでした。