FC2ブログ

Welcome to my blog

[答807] 中線の長さと面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答807] 中線の長さと面積


 △ABCの BC,CA,AB の中点を L,M,N とします。

 AL=16,BM=20,CN=24 のとき、△ABCの面積は?


[解答1]

 BC=a,CA=b,AB=c とします。

 中線定理により、AC2+AB2=2(AL2+BL2) 、2AC2/2+2AB2/2=4AL2+BC2

 2b2+2c2-a2=4AL2 、2b2+2c2-a2=1024 ……(1) 、

 同様に、2c2+2a2-b2=1600 ……(2) ,2a2+2b2-c2=2304 ……(3) 、

 {(1)+(2)+(3)}×2/3 より 2a2+2b2+2c2=9856/3 ……(4) 、

 {(4)-(1)}÷3,{(4)-(2)}÷3,{(4)-(3)}÷3 より a2=6784/9 ,b2=5056/9 ,c2=2944/9 です。

 計算を簡単にするために、64/9=k とすれば、a2=106k ,b2=79k ,c2=46k です。

 4△ABC=√(2b2c2+2c2a2+2a2b2-a4-b4-c4)

  =√(7268k2+9752k2+16748k2-11236k2-6241k2-2116k2)

  =k√14175=45k√7=45・(64/9)√7 、

 △ABC=80√7 になります。


[解答2]

 △ABCの重心を G とし、AGの延長上に AG=GD を満たす点Gをとれば、

 四角形GBDCは平行四辺形になります。

 3辺が AL=16,BM=20,CN=24 の三角形の面積を S とすれば、(16+20+24)/2=30 、

 S=√{30(30-16)(30-20)(30-24)}=√(30・14・10・6)=60√7 です。

 また、GD=AG=(2/3)AL,BG=(2/3)BM,DB=CG=(2/3)CN だから、△BDG=(4/9)S 、

 △ABC=3△BDG=(4/3)S=(4/3)・60√7=80√7 です。

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

コウヤボウキですね
高野山でこの木の枝で箒を作ったと~
幾つくらいの花が束になっているのでしょうか~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
□GBDCを作る先の問題の解法が、まだ頭に残っておりました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしゃ…[解答2]に思い至らず…^^;
ややこしいパップスの定理で求めるしかなかったです…
幾何的発想の秀逸さが明瞭な問題ですねぇ☆…Orz

風 草  
No title

くるくるとカールした花弁が可愛いですね。

ナイス☆

ニリンソウ  
No title

ハグマの仲間ですがコウヤボウキがこの辺では見れない。
自生の花ですか!

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
花弁に特長のある珍しい花ですネ
余り見た記憶がない花ですがとても可愛い花ですネ
花弁の先端のカールが面白いですネ

ナイス☆彡

樹☆  
No title

こんばんは
見たことがある記憶・・小さな花火のように
可愛いお花ですね。
なんだろ
最近のやどかりさんのお花・・ヘルプです。笑

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
コウヤボウキをよくご存知ですね。
花はまばらに咲いていました。
小さな花なので撮りにくいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
[795]が頭にあれば簡単でしたね。
重心にはもっと面白い性質もあるかも知れません。
別の性質に気づいたら出題したいと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
○○正直に求めると面倒ですね。
もちろん、何かありそうで、
結局は○○正直に求めるのが一番ということもあります。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
ハグマに類する花はカールしていて面白いです。
しかも色がピンクで可愛さもあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ハグマも何種類かあるようですね。
こちらではコウヤボウキ以外はなかなか見られないです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ハグマと呼ばれる花の仲間はこんなのが多いです。
この花はコウヤボウキですが、ハグマの一種です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
面白い可愛い花でしょ。
コウヤボウキ(高野箒)と呼ばれる花です。
高野山の修行僧が箒にしたそうです。