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[答810] 円に内接する四角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答810] 円に内接する四角形


 AB<BC,AB+BC=48,CD=DA=15,面積が 192 であり,円に内接する四角形ABCD があります。

 この四角形ABCDの対角線 AC,BD の長さは?


[解答1]

 AB=x,BC=y とすると、x+y=48 、(AB+BC+CD+DA)/2=(48+15+15)/2=39 だから、

 ブラマグプタの公式により、√{(39-x)(39-y)(39-15)(39-15)}=192 、

 24√{(39-x)(39-y)}=192 、√{(39-x)(39-y)}=8 、(39-x)(39-y)=64 、

 xy-39(x+y)+1457=0 、xy-39・48+1457=0 、xy=415 です。

 また、△ABC+△ACD=192 より 2△ABC+2△ACD=384 、xy・sin∠ABC+15・15・sin∠CDA=384 、

 640sin∠CDA=384 、sin∠CDA=3/5 、cos∠CDA=-4/5 、

 余弦定理より、AC2=152+152-2・15・15・cos∠CDA=810 、AC=9√10 です。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・AD+AD・BC 、(9√10)BD=15x+15y=15(x+y)=15・48=720 、

 BD=8√10 になります。


[解答2]

 △ABD≡△EDB となるように 弧DAB上に点Eをとると、EB=DC=15 、四角形EBCDは等脚台形です。

 また、BC上に点Hをとって、長方形BHDFをつくると △DHC≡△BFE だから、BH=48/2=24 です。

 よって、24・DH=192 、DH=8 、長方形BHDFの対角線は、BD=√(242+82)=8√10 になります。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・AD+AD・BC 、(8√10)AC=15x+15y=15(x+y)=15・48=720 、

 AC=9√10 になります。


[解答3]

 DからBCにおろした垂線の足をHとし、BCの延長上に CF=AB を満たすように点Fをとると、

 △CFD≡△ABD ですので、DF=DB ,BF=BC+CF=BC+AB=48 になり、BH=BF/2=24 、

 BF・DH/2=△DBF=四角形ABCD=192 、24DH=192 、DH=8 です。

 BD=√(BH2+DH2)=√(242+82)=8√10 です。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・AD+AD・BC 、(8√10)AC=15x+15y=15(x+y)=15・48=720 、

 AC=9√10 になります。


☆ AC=√810,BD=8√10 という趣向でした。

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Comments 13

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樹☆  
No title

おはようございます
パンパスグラス見事ですねぇ~
おうちにも植えたいです。

ゆうこ つれづれ日記  
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道東にはないけれど、
このススキに似た大きなパンパスグラスは素敵です。
北海道では育たないですよね…(^^ゞ
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1]のようにしか解けませんでしたが,,,^^;
[解答3]は秀逸ね☆...
正方形の4分割に似てますね♪ Orz~

スモークマン  
No title


趣向(なるほど!!)...にも気付けず…^^;…Orz...

ニリンソウ  
No title

パンパグラスも真っすぐ青空をみて!
気持ちいいですね~~~~~

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」の公式は知らず、「[解答2」および「解答3」の華麗なる解法は思い至らず、泥臭く解きました。

「趣向」は、皆さんへのリコメを拝見したときに、ようやく、気づきました。喝采します。

風 草  
No title

パンパスグラスが絵筆のようで、青空にお絵描きしたくなります。
私の場合、落書きになってしまいそうですが。。(^^;;
ナイス☆

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
パンパスグラスは夏から見られますが、
今の時期、穂が綺麗に見えます。
植えられる大きな庭があればいいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
北海道では育たないのですか。残念ですね。
立派な穂が見られるのがパンパスグラスの良いところです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
公式を知っていれば[解答1]が確実ですね。
この番号を見て、√810,8√10 を問題にしました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
パンパスグラスもやはり青空の下がいいです。
白い穂なので、雲が多いと目立ちません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
公式を知っていればショートカットできるのが有利です。
いろいろ工夫するのも面白いです。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
絵筆という発想は私にはありませんでした。
青空に虹を描ければいいですね。