[答814] 放物線に接する円

[答814] 放物線に接する円


　x軸上に中心をもち 放物線 y²＝x に原点以外で接する 16個の円が、隣同士 x軸上で外接して並んでいます。

　この最小円の左端から最大円の右端までの距離が 400 であるとき、最小円の左端の x座標は？

　また、1≦m＜n≦16 として、ｍ番目に小さい円の左端から ｎ番目に小さい円の右端までの距離が

　210 になるときの自然数 m，n の値は？

　ここで、円とx軸との交点の原点に近い方を「左端」，原点から遠い方を「右端」と表しています。


[解答1]

　x軸上に中心をもち 放物線 y²＝x に(a²，a)で接する円の左端の x座標を b，右端の x座標を c とします。

　y²＝x について、2yy'＝1 だから、－1/y'＝－2y ですので、(a²，a)における法線は y－a＝－2a(x－a²) 、

　y＝0 とおけば、－a＝－2a(x－a²) 、x＝a²＋1/2 となって、

　この円の中心は(a²＋1/2，0)、半径は √{(1/2)²＋a²} です。

　よって、b＝a²＋1/2－√(1/4＋a²)，c＝a²＋1/2＋√(1/4＋a²) 、

　b＋c＝2a²＋1，c－b＝2√(1/4＋a²)＝√(1＋4a²) 、

　(c－b)²＝1＋4a²＝2(2a²＋1)－1＝2(b＋c)－1 、

　(c－b)²－2(c－b)＋1＝4b 、(c－b－1)²＝4b 、c－b－1＝2√b 、

　c＝b＋2√b＋1 、正の平方根をとって、√c＝√b＋1 です。

　従って、ｎ番目の円の左端の x座標を a_n-1 ，右端の x座標を a_n とすれば、

　√a_n＝√a_n-1＋1 となり、数列{ √a_n }は公差が 1 の等差数列で、

　√a_n＝√a₀＋n 、√a₀＝A とおけば、√a_n＝A＋n 、a_n＝(A＋n)² です。

　題意より、a₁₆－a₀＝400 だから、(A＋16)²－A²＝400 、32A＋256＝400 、

　A＝9/2 、a₀＝A²＝81/4 、これが 最小円の左端の x座標です。

　次に、ｍ番目に小さい円の左端から ｎ番目に小さい円の右端までの距離は a_n－a_m-1＝210 、

　(A＋n)²－(A＋m－1)²＝210 、(n－m＋1)(2A＋n＋m－1)＝210 、(n－m＋1)(n＋m＋8)＝210 、

　(n＋m＋8)－(n－m＋1)＝2m＋7≧9 ，n＋m＋8≦16＋15＋8＝39 に注意して、

　(n－m＋1，n＋m＋8)＝(6，35)，(7，30)，(10，21) 、(m，n)＝(11，16)，(8，14)，(2，11) になります。


[解答2]

　半径 r の円が y²＝x に接するときの中心を(p，0) (p＞r) とすとします。

　(x－p)²＋y²＝r² に y²＝x を代入して、(x－p)²＋x＝r² 、x²－(2p－1)x＋p²－r²＝0 、

　これが重解を持てばよいから、判別式は (2p－1)²－4(p²－r²)＝0 、

　－4p＋1＋4r²＝0 、p＝r²＋1/4 です。

　ｋ番目に小さい円の中心を(p_k，0)，半径を r_k とすれば、

　ｋ番目に小さい円の右端と(k＋1)番目に小さい円の左端が一致することにより、

　p_k＋r_k＝p_k+1－r_k+1 、r_k²＋1/4＋r_k＝r_k+1²＋1/4－r_k+1 、(r_k＋r_k+1)(r_k－r_k+1＋1)＝0 、

　r_k+1＝r_k＋1 、r_k＝r₁＋k－1 になります。

　r₁＋r₂＋r₃＋……＋r₁₆＝400/2 だから、16r₁＋1＋2＋……＋15＝200 、

　16r₁＝80 、r₁＝5 、最小円の左端の x座標は p₁－r₁＝r₁²＋1/4－r₁＝81/4 です。

　また、r_k＝r₁＋k－1＝k＋4 です。

　ｍ番目に小さい円の左端から ｎ番目に小さい円の右端までの距離が 210 になるとき、

　2(r_m＋r_m＋1＋……＋r_n)＝210 だから、(r_m＋r_n)(n－m＋1)＝210 、(m＋n＋8)(n－m＋1)＝210 、

　(n＋m＋8)－(n－m＋1)＝2m＋7≧9 ，n＋m＋8≦16＋15＋8＝39 に注意して、

　(n－m＋1，n＋m＋8)＝(6，35)，(7，30)，(10，21) 、(m，n)＝(11，16)，(8，14)，(2，11) になります。

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