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[答814] 放物線に接する円

ヤドカリ

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[答814] 放物線に接する円


 x軸上に中心をもち 放物線 y2=x に原点以外で接する 16個の円が、隣同士 x軸上で外接して並んでいます。

 この最小円の左端から最大円の右端までの距離が 400 であるとき、最小円の左端の x座標は?

 また、1≦m<n≦16 として、m番目に小さい円の左端から n番目に小さい円の右端までの距離が

 210 になるときの自然数 m,n の値は?

 ここで、円とx軸との交点の原点に近い方を「左端」,原点から遠い方を「右端」と表しています。


[解答1]

 x軸上に中心をもち 放物線 y2=x に(a2,a)で接する円の左端の x座標を b,右端の x座標を c とします。

 y2=x について、2yy'=1 だから、-1/y'=-2y ですので、(a2,a)における法線は y-a=-2a(x-a2) 、

 y=0 とおけば、-a=-2a(x-a2) 、x=a2+1/2 となって、

 この円の中心は(a2+1/2,0)、半径は √{(1/2)2+a2} です。

 よって、b=a2+1/2-√(1/4+a2),c=a2+1/2+√(1/4+a2) 、

 b+c=2a2+1,c-b=2√(1/4+a2)=√(1+4a2) 、

 (c-b)2=1+4a2=2(2a2+1)-1=2(b+c)-1 、

 (c-b)2-2(c-b)+1=4b 、(c-b-1)2=4b 、c-b-1=2√b 、

 c=b+2√b+1 、正の平方根をとって、√c=√b+1 です。

 従って、n番目の円の左端の x座標を an-1 ,右端の x座標を an とすれば、

 √an=√an-1+1 となり、数列{ √an }は公差が 1 の等差数列で、

 √an=√a0+n 、√a0=A とおけば、√an=A+n 、an=(A+n)2 です。

 題意より、a16-a0=400 だから、(A+16)2-A2=400 、32A+256=400 、

 A=9/2 、a0=A2=81/4 、これが 最小円の左端の x座標です。

 次に、m番目に小さい円の左端から n番目に小さい円の右端までの距離は an-am-1=210 、

 (A+n)2-(A+m-1)2=210 、(n-m+1)(2A+n+m-1)=210 、(n-m+1)(n+m+8)=210 、

 (n+m+8)-(n-m+1)=2m+7≧9 ,n+m+8≦16+15+8=39 に注意して、

 (n-m+1,n+m+8)=(6,35),(7,30),(10,21) 、(m,n)=(11,16),(8,14),(2,11) になります。


[解答2]

 半径 r の円が y2=x に接するときの中心を(p,0) (p>r) とすとします。

 (x-p)2+y2=r2 に y2=x を代入して、(x-p)2+x=r2 、x2-(2p-1)x+p2-r2=0 、

 これが重解を持てばよいから、判別式は (2p-1)2-4(p2-r2)=0 、

 -4p+1+4r2=0 、p=r2+1/4 です。

 k番目に小さい円の中心を(pk,0),半径を rk とすれば、

 k番目に小さい円の右端と(k+1)番目に小さい円の左端が一致することにより、

 pk+rk=pk+1-rk+1 、rk2+1/4+rk=rk+12+1/4-rk+1 、(rk+rk+1)(rk-rk+1+1)=0 、

 rk+1=rk+1 、rk=r1+k-1 になります。

 r1+r2+r3+……+r16=400/2 だから、16r1+1+2+……+15=200 、

 16r1=80 、r1=5 、最小円の左端の x座標は p1-r1=r12+1/4-r1=81/4 です。

 また、rk=r1+k-1=k+4 です。

 m番目に小さい円の左端から n番目に小さい円の右端までの距離が 210 になるとき、

 2(rm+rm+1+……+rn)=210 だから、(rm+rn)(n-m+1)=210 、(m+n+8)(n-m+1)=210 、

 (n+m+8)-(n-m+1)=2m+7≧9 ,n+m+8≦16+15+8=39 に注意して、

 (n-m+1,n+m+8)=(6,35),(7,30),(10,21) 、(m,n)=(11,16),(8,14),(2,11) になります。

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Comments 14

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
雪のように見えますね、人の字「ジンジソウ」でしょうか。 ナイス

ひとりしずか  
No title

わぁ~いっぱい
ジンジンソウ?
かわいい!
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」のようにスマートではありませんが、とにかく、
「位置はどこでも、隣り合う円の半径の差は1」をつきとめました。その後は、数列の問題に転化され、比較的容易にゴールできました。

円の個数16および400なり210の数値には、問題番号絡みの作意を感じますが、
基本放物線「y=x^2」に接して円を並べたとき、こんなに美しい関係があるとは驚きです。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
ダイモンジソウかと思ったら「ジンジソウ」と言うのもあるのですネ↑
余り見かけたことがないようです
とても可愛い花ですネ
ナイス☆彡

樹☆  
No title

こんにちは
わたしも・・さっちゃんこさんと
同じくダイモンジソウと思いました。
でも花びらが少し違うから・・ジンジソウ
白くて健気に見えます。

やどかりさんはいつもカメラ持参ですか?

この前、大好きなこすもすが咲いてました。
がんばってるね^^って嬉しくなりましたが
カメラがなくて携帯で・・パシャでした。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なんとか…[解答2]のような場所にたどり着けました ^^;v
tsuyoshik1942さんと同じく、こんな性質があるなんてびっくりしました☆…このことから、最小の内接円の半径は…1ですね ^^ Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
仰るとおり、ジンジソウです。
大文字草と違って、あまり知られていないのが可愛そうです。

ヤドカリ  
No title

ヒトリシズカさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ジンジンソウとも言うのでしょうか?
「大文字」に対して「人字」と解釈しています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
「位置はどこでも、隣り合う円の半径の差は1」をテーマとしました。
問題番号に絡めたのているのは、答え合わせのようなものです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花弁のちょっとした長さの違いで呼び方が変わりますね。
「人」の字に見えれば、名前はすぐに頭に入ります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
花弁のちょっとした長さの違いで、文字としては違って見えますね。
私はだいたいカメラを持って出かけます。
いいなぁと感じたものを撮りたいからです。
人は肖像権があるので、なるべく入らないように、
入っても小さくて判別できないように心がけています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「最小の内接円の半径は…1ですね」
もちろん、1つの円の半径が自然数であればです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
そっか…^^;
p^2+1/4=r^2 だから…
最小の半径は…P=0 のときの、r=1/2 が最小になるわけでしたぁ…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
r>1/2 のとき2点で接し、r≦1/2 のとき原点で接します。