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[答815] 距離の平方の和の最小値

ヤドカリ

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[答815] 距離の平方の和の最小値


 xy平面上に A(19,18),B(-11,-3) と、中心が原点で半径が 17 の円があります。

 この円周上に点Pをとるとき、PA2+PB2 の最小値は? また、このときの点Pの座標は?


[解答1]

 P(17cosθ,17sinθ) (0≦θ<2π)とすれば、

 PA2+PB2=(17cosθ-19)2+(17sinθ-18)2+(17cosθ+11)2+(17sinθ+3)2

  =2・172cos2θ-2・17(19-11)cosθ+2・172sin2θ-2・17(18-3)sinθ+815

  =2・17・(17-8cosθ-15sinθ)+815=2・172・{1-(8/17)cosθ-(15/17)sinθ}+815

 ここで、αを 0≦α<2π,cosα=8/17,sinα=15/17 となる角とすれば、

 PA2+PB2=2・172・(1-cosθcosα-sinθsinα)+815=2・172・{1-cos(θ-α)}+815

 だから、θ=α のとき、最小値 815 になり、このとき、P(8,15) です。


[解答2]

 ABの中点をMとすれば、M(4,15/2) で、パップスの中線定理より

 PA2+PB2=2(PM2+AM2)=2{PM2+152+(21/2)2}=2(PM2+1341/4)

 原点をOとすれば、OM=√{42+(15/2)2}=17/2 だから、

 O,M,P がこの順に一直線上にあるとき PM が最小で、P(8,15),PM=17/2 です。

 このとき、PA2+PB2=2(PM2+1341/4)=2{(17/2)2+1341/4}=815 です。

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Comments 10

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
納得できましたぁ ^^;
中線定理の鮮やかな応用は目が覚めます☆
数学も、碁も、思い込んじゃうと駄目ですね…Orz~

情けないことに…[解法1]も気付けなかったし…
わたしのは嘘っぱちでしたわ…
今回はせっかく正解者扱いして頂きましたが…以上より...謹んでご辞退申し上げます~m(_ _)m~めんご~^^;v

ニリンソウ  
No title

紅白の南天だ~! 葉がちがうね。
カラタチバナでしょうか。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」でした。
ただし、自分の場合、余弦定理、正弦定理以上の三角関数の操作は、参考書を横に、公式をなぞるだけなので、解法感が今一つでした。

「解答2」のように、[最小」がイメージできる解があるはずと、思ったのですが、出来ませんでした。

さっちゃんこ  
No title

紅白の綺麗な実 満了かと思ったのですがチョッと違うようですネ
真っ赤な実が目を引きますね
ナイス☆彡

樹☆  
No title

こんばんは
赤い実と白い実・・おめでたいですね。
南天?

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
思い込みでしたか。
仰る通りにいたします。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。。
仰るとおり、カラタチバナです。
紅白の丸い実が目をひきました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
同じ解くなら、納得できるスッキリした方法がいいですね。
私は考える題材を提供しているだけですが、
今後もお付き合いください。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
カラタチバナの実です。
万両と違って、こちらは百両の別名があります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
カラタチバナ(百両)の実です。
紅白が揃っていて目出度い感じでした。