FC2ブログ

Welcome to my blog

[答817] 等しい角の正接

ヤドカリ

ヤドカリ



[答817] 等しい角の正接


 xy平面上に O(0,0),A(4,0),B(1,2) があって、∠POA=∠PAB=∠PBO を満たすように、

 △OAB内に点Pをとるとき、∠POA=∠PAB=∠PBO=θ とすると tanθ=?


[解答1]

 まず、OAの傾きは 0,OBの傾きは 2,ABの傾きは -2/3 で、OPの傾きが求める tanθ です。

 BP が x=1 のときは tanθ=tan∠PBO=1/2 、OP が y=x/2 になり、P(1,1/2) 、

 PAの傾きは -1/6 、tan∠PAB=(-1/6+2/3)/{1+(-2/3)(-1/6)}=9/20≠tanθ で 適しません。

 P(a,b) (a≠1) とすれば、tanθ=b/a 、

 傾きが m=tanα の直線をθ回転して得られる直線の傾きは

 tan(α+θ)=(tanα+tanθ)/(1-tanαtanθ)=(m+b/a)/(1-bm/a)=(am+b)/(a-bm) だから、

 APの傾きは (-2a/3+b)/(a+2b/3)=b/(a-4) 、a2+b2-4a+6b=0 になり、

 BPの傾きは (2a+b)/(a-2b)=(b-2)/(a-1) 、2a2+2b2-5b=0 になります。

 2つの式から2次の項を消去して、-8a+17b=0 よって、tanθ=b/a=8/17 です。


[解答2]

 Oを通り、AでABと接する円について、

 中心は、OAの垂直二等分線 x=2 と AでABと直交する直線 y=(3/2)(x-4) の交点で、(2,-3) 、

 半径はこの点と O(0,0) の距離で、√13 だから、

 方程式は (x-2)2+(y+3)2=13 、x2+y2-4x+6y=0 です。

 Bを通り、OでOAと接する円について、

 中心は、OBの垂直二等分線 y-1=-(1/2)(x-1/2) と y軸の交点で、(0,5/4) 、

 半径はこの点と O(0,0) の距離で、5/4 だから、

 方程式は x2+(y-5/4)2=25/16 、x2+y2-(5/2)y=0 です。

 この2つの円の交点を O,P とすれば、接弦定理より、∠PAB=∠POA=∠PBO になります。

 直線OPは、x2+y2-4x+6y=0,x2+y2-(5/2)y=0 から2次の項を消去して、

 -4x+6y+(5/2)y=0 、y=(8/17)x になります。

 tanθ は この直線の傾きだから、tanθ=8/17 です。


[解答3] uch*n*anさんの解答を参考に

 Aを通り、BでOBと接する円について、中心のx座標は、

 ABの垂直二等分線 y-1=(3/2)(x-5/2) と BでOBと直交する直線 y-2=(-1/2)(x-1) を連立し、

 x=21/8 です。

 直線 x=21/8 に関して Bと対称な点をDとすれば、D(17/4,2) です。

 ∠PDB=∠PAB=θ=∠POA なので O,P,D が同一直線上にあり、

 tanθ は OD の傾きと一致し、2/(17/4)=8/17 です。


[解答4]

 △OAP,△ABP,△BOP において余弦定理より

 PA2=OA2+PO2-2・OA・POcosθ,PB2=AB2+PA2-2・AB・PAcosθ,PO2=OB2+PB2-2・OB・PBcosθ 、

 辺々加えて簡単にすると、2(OA・PO+AB・PA+OB・PB)cosθ=OA2+AB2+OB2

 次に、△OAB=△OAP+△ABP+△BOP=(1/2)(OA・PO+AB・PA+OB・PB)sinθ 、

 よって、2(OA・PO+AB・PA+OB・PB)sinθ=4△OAB になります。

 tanθ={2(OA・PO+AB・PA+OB・PB)sinθ}/{2(OA・PO+AB・PA+OB・PB)cosθ} だから、

 tanθ=4△OAB/(OA2+AB2+OB2) になります。

 本問では、△OAB=4,OA=4,AB=√13,OB=√5 だから、tanθ=4・4/(16+13+5)=8/17 です。


☆ ∠PAB=∠PBC=∠PCA を満たす△ABCの内部の点Pをブロカール点ということを

 ふじもさん,sbr*d4*5さんのコメントにより、ご教示いただきました。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
No title

あはは
やどかりさんが朝の挨拶がわりに
あかんべ~と舌出されたのかと思いましたよ。
おはようございます。

素敵に紅葉してますね。

ひとりしずか  
No title

あざやか~!
ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
なんとも綺麗♪ 真っ赤ですね(o^-^o)

uch*n*an  
No title

これはなかなか面白い問題でした。私の解法は三つ。
(解法1)は[解答1]と同様ですが,直接に tanθ の方程式を導いたところ3次方程式になり,
若干計算が面倒になったと思います。
(解法2)は[解答2]と同じ。
(解法3)は[解答3]ですが,実際はもう少しぎこちなく,円の方程式を求めて解きました。
三角関数による解法も考えようとしたのですが,面倒そうでやめてしまいました。
[解答4]のようにすれば結構スッキリと解けてしまうんですね。
点 P は特徴的な点なので何か名前があるのだろうなと思ったのですが知りませんでした。
ブロカール点というのですか。勉強になりました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
閃かず...ひたすら計算させてしまいました…^^;;
[解答1&3]がわかりやすくて好きです☆
△の外でもよければ…Dの点が満たしており、△内に1個、外に3個取れるわけですね…Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

一枚の赤い葉は
紅葉したのですか?
艶のある素敵な葉ですね。
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
真っ赤にいろづいた1枚の葉っぱ!
ガマズミの葉っぱでしょうか!?
緑に輝く葉っぱの中で一枚の真っ赤な葉っぱが絵に成りますね♪
ナイス♪

こっこちゃん  
No title

一枚の真っ赤な葉に

元気貰えますね

紅葉も 青葉の傍で ひときわ美しいですね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
三つの角度が同一の点は一点に定まりそうだが、二つの角度が一致するところは?と考え、「解答2」に思い至りました。

ニリンソウ  
No title

ツヤツヤの赤い葉は?
ホントは常緑樹が紅葉したものですか。
ワックス塗ったように素敵です。

ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
舌を出しているのはアインシュタイン?
面白い紅葉で、撮りたくなりました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
緑の葉の中に何枚か紅葉したものがありました。
赤と緑のコントラストが気に入りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
綺麗に何枚かが紅葉していました。
1枚の葉が撮って欲しいと言っているようでした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
座標を思わせる設定にしましたが、想定解は[解答4]でした。
ブロカール点を調べたら公式だけは書いてありましたが、
簡単に証明できますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答4]の方が分かりやすいかも知れません。
この解法は座標の設定ですので思いつきにくいかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
紅葉してよく目立ちました。
緑の中の赤いものは目に付きます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
ハクサンボクの葉っぱです。ガマズミ科ですので同じようなものと思います。
滅多に葉を主体に撮らないのですが、これは撮りたくなりました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
真っ赤な葉が目立ちました。
緑の中での真っ赤な紅葉を、私も美しく感じました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
接弦定理に持ち込むためには、[解答2]ですね。
三角形の中に円が見えてくれば解けますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ハクサンボクは落葉樹のようですが、
葉っぱにワックスを塗ったような光沢があるので目立ちます。