[答818] 直角三角形と正三角形

[答818] 直角三角形と正三角形


　BC＝2，AC＝4，∠C＝90ﾟ の直角三角形ABCの 辺BC，CA，AB 上に 点P，Q，R をとって、

　正三角形PQRをつくるとき、正三角形PQRの面積 S の最小値は？


[解答1]

　正三角形の１辺を x，∠QPC＝θ とすれば、

　∠RPB＝120ﾟ－θ ，∠PQC＝90ﾟ－θ ，∠AQR＝30ﾟ＋θ 、

　PC＝x･cosθ ，QC＝x･sinθ ，BP＝2－x･cosθ ，AQ＝4－x･sinθ です。

　△ARQ＝(1/2)x(4－x･sinθ)sin(30ﾟ＋θ)＝(1/2)x(4－x･sinθ)(sin30ﾟcosθ＋cos30ﾟsinθ)

　 ＝(1/4)x(4－x･sinθ)｛cosθ＋(√3)sinθ｝

　△RBP＝(1/2)x(2－x･cosθ)sin(120ﾟ－θ)＝(1/2)x(2－x･cosθ)(sin120ﾟcosθ－cos120ﾟsinθ)

　 ＝(1/4)x(2－x･cosθ)｛(√3)cosθ＋sinθ｝

　△PCQ＝(1/2)(x･cosθ)(x･sinθ)＝(1/2)x²sinθcosθ

　△PQR＝(1/2)x²･sin60ﾟ＝(1/4)(√3)x² で、

　その和が △ABC＝4 です。

　4x｛cosθ＋(√3)sinθ｝－x²･sinθ｛cosθ＋(√3)sinθ｝＋2x｛(√3)cosθ＋sinθ｝
　 －x²･cosθ｛(√3)cosθ＋sinθ｝＋2･x²sinθcosθ＋(√3)x²＝16 、

　4x｛cosθ＋(√3)sinθ｝＋2x｛(√3)cosθ＋sinθ｝＝16 、

　x²＝64/｛(2＋√3)cosθ＋(2√3＋1)sinθ｝² 、

　ここで、(2＋√3)cosθ＋(2√3＋1)sinθ は

　２つのベクトル(cosθ，sinθ)，(2＋√3，2√3＋1) の内積だから、

　(2＋√3，2√3＋1) の大きさを a とし、方向角をα (0＜α＜π/2) とすれば、

　a²＝(2＋√3)²＋(2√3＋1)²＝20＋8√3 、

　(2＋√3)cosθ＋(2√3＋1)sinθ＝a･cos(θ－α) になり、

　x²＝64/｛a²･cos²(θ－α)｝＝(64/a²)/cos²(θ－α)

　 ＝｛64/(20＋8√3)｝/cos²(θ－α)＝｛16(5－2√3)/13｝/cos²(θ－α)

　よって、θ＝α のとき x² の最小値は 64/(20＋8√3)＝16(5－2√3)/13 、

　そのとき、△PQR＝(1/4)(√3)x²＝4(5－2√3)(√3)/13＝4(5√3－6)/13 です。


[解答2]

　この図形を複素平面上におき、A(4i)，B(－2)，C(0)，P(－2p)，Q(2iq) (0＜p＜1，0＜q＜2) とします。

　有向線分PQが表す複素数は、2iq＋2p＝2(iq＋p) だから、有向線分PQが表す複素数は、

　2(iq＋p)(cos60ﾟ＋i･sin60ﾟ)＝(iq＋p)(1＋i√3)＝(p－q√3)＋i(p√3＋q) 、

　よって、R((－p－q√3)＋i(p√3＋q)) になります。

　xy平面で、直線 y＝2x＋4 上に点(－p－q√3，p√3＋q)があることになるから、

　p√3＋q＝2(－p－q√3)＋4 、(2＋√3)p＋(1＋2√3)q＝4 です。

　コーシー･シュワルツの不等式により、

　{(2＋√3)²＋(1＋2√3)²}(p²＋q²)≧{(2＋√3)p＋(1＋2√3)q}² 、

　4(5＋2√3)(p²＋q²)≧4² 、p²＋q²≧4/(5＋2√3) 、 p²＋q²≧4(5－2√3)/13 になります。

　ここで、等号が成り立つのは、

　p：q＝(2＋√3)：(1＋2√3) だから、p＝(2＋√3)k，q＝(1＋2√3)k とおけば、

　(2＋√3)²k＋(1＋2√3)²k＝4 、4(5＋2√3)k＝4 、k＝(5－2√3)/13 になり、

　p＝(4＋√3)/13 ，q＝(－7＋8√3)/13 で、0＜p＜1，0＜q＜2 を満たします。

　S＝PQ²(√3)/4＝4(p²＋q²)(√3)/4＝(√3)(p²＋q²)≧(√3)･4(5－2√3)/13＝4(5√3－6)/13 になって、

　S の最小値は、4(5√3－6)/13＝0．8185397…… です。


[参考] △PQRの面積の最大値

　[解答1]で、 x²＝｛16(5－2√3)/13｝/cos²(θ－α) ですが、

　tanα＝(2√3＋1)/(2＋√3)＝3√3－4 、θの範囲は ∠B－60ﾟ≦θ≦90ﾟ です。

　tan(90ﾟ－α)＝(2＋√3)/(2√3＋1)＝(3√3＋4)/11 、

　tan(∠B－60ﾟ)＝(tan∠B－tan60ﾟ)/(1＋tan∠Btan60ﾟ)＝(2－√3)/(2√3＋1)＝(5√3－8)/11 、　

　tan{α－(∠B－60ﾟ)}＝{tanα－tan(∠B－60ﾟ)}/{1＋tanαtan(∠B－60ﾟ)}

　 ＝{11tanα－11tan(∠B－60ﾟ)}/{11＋11tanαtan(∠B－60ﾟ)}

　 ＝{11(3√3－4)－(5√3－8)}/{11＋(3√3－4)(5√3－8)}＝(5√3＋3)/11＞tan(90ﾟ－α) 、

　よって、α－(∠B－60ﾟ)＞90ﾟ－α となり、θ＝∠B－60ﾟ のとき最大になります。

　このとき、

　x²＝｛16(5－2√3)/13｝/cos²(∠B－60ﾟ－α)＝｛16(5－2√3)/13｝｛1＋tan²(∠B－60ﾟ－α)｝

　 ＝｛16(5－2√3)/13｝｛1＋(5√3＋3)²/121｝＝80(13－4√3)/121 、

　△PQR＝(1/4)(√3)x²＝20(13√3－12)/121 です。

　なお、結局、PがBに一致するとき または PがCに一致するとき のどちらかで最大となります。

　PがCに一致するときは、RP＝BC･2/(√3＋1/2)＜BC で、PがBに一致するときは、PQ＞BC だから、

　PがBに一致するときに最大です。

　このとき、CQ＝BC･tan(∠B－60ﾟ)＝BC･(5√3－8)/11

　PQ²＝BC²＋｛BC･(5√3－8)/11｝²＝BC²･20(13－4√3)/121＝80(13－4√3)/121 、

　とすれば、計算が楽になります。

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