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[答818] 直角三角形と正三角形

ヤドカリ

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[答818] 直角三角形と正三角形


 BC=2,AC=4,∠C=90゚ の直角三角形ABCの 辺BC,CA,AB 上に 点P,Q,R をとって、

 正三角形PQRをつくるとき、正三角形PQRの面積 S の最小値は?


[解答1]

 正三角形の1辺を x,∠QPC=θ とすれば、

 ∠RPB=120゚-θ ,∠PQC=90゚-θ ,∠AQR=30゚+θ 、

 PC=x・cosθ ,QC=x・sinθ ,BP=2-x・cosθ ,AQ=4-x・sinθ です。

 △ARQ=(1/2)x(4-x・sinθ)sin(30゚+θ)=(1/2)x(4-x・sinθ)(sin30゚cosθ+cos30゚sinθ)

  =(1/4)x(4-x・sinθ){cosθ+(√3)sinθ}

 △RBP=(1/2)x(2-x・cosθ)sin(120゚-θ)=(1/2)x(2-x・cosθ)(sin120゚cosθ-cos120゚sinθ)

  =(1/4)x(2-x・cosθ){(√3)cosθ+sinθ}

 △PCQ=(1/2)(x・cosθ)(x・sinθ)=(1/2)x2sinθcosθ

 △PQR=(1/2)x2・sin60゚=(1/4)(√3)x2 で、

 その和が △ABC=4 です。

 4x{cosθ+(√3)sinθ}-x2・sinθ{cosθ+(√3)sinθ}+2x{(√3)cosθ+sinθ}
  -x2・cosθ{(√3)cosθ+sinθ}+2・x2sinθcosθ+(√3)x2=16 、

 4x{cosθ+(√3)sinθ}+2x{(√3)cosθ+sinθ}=16 、

 x2=64/{(2+√3)cosθ+(2√3+1)sinθ}2

 ここで、(2+√3)cosθ+(2√3+1)sinθ は

 2つのベクトル(cosθ,sinθ),(2+√3,2√3+1) の内積だから、

 (2+√3,2√3+1) の大きさを a とし、方向角をα (0<α<π/2) とすれば、

 a2=(2+√3)2+(2√3+1)2=20+8√3 、

 (2+√3)cosθ+(2√3+1)sinθ=a・cos(θ-α) になり、

 x2=64/{a2・cos2(θ-α)}=(64/a2)/cos2(θ-α)

  ={64/(20+8√3)}/cos2(θ-α)={16(5-2√3)/13}/cos2(θ-α)

 よって、θ=α のとき x2 の最小値は 64/(20+8√3)=16(5-2√3)/13 、

 そのとき、△PQR=(1/4)(√3)x2=4(5-2√3)(√3)/13=4(5√3-6)/13 です。


[解答2]

 この図形を複素平面上におき、A(4i),B(-2),C(0),P(-2p),Q(2iq) (0<p<1,0<q<2) とします。

 有向線分PQが表す複素数は、2iq+2p=2(iq+p) だから、有向線分PQが表す複素数は、

 2(iq+p)(cos60゚+i・sin60゚)=(iq+p)(1+i√3)=(p-q√3)+i(p√3+q) 、

 よって、R((-p-q√3)+i(p√3+q)) になります。

 xy平面で、直線 y=2x+4 上に点(-p-q√3,p√3+q)があることになるから、

 p√3+q=2(-p-q√3)+4 、(2+√3)p+(1+2√3)q=4 です。

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 {(2+√3)2+(1+2√3)2}(p2+q2)≧{(2+√3)p+(1+2√3)q}2

 4(5+2√3)(p2+q2)≧42 、p2+q2≧4/(5+2√3) 、 p2+q2≧4(5-2√3)/13 になります。

 ここで、等号が成り立つのは、

 p:q=(2+√3):(1+2√3) だから、p=(2+√3)k,q=(1+2√3)k とおけば、

 (2+√3)2k+(1+2√3)2k=4 、4(5+2√3)k=4 、k=(5-2√3)/13 になり、

 p=(4+√3)/13 ,q=(-7+8√3)/13 で、0<p<1,0<q<2 を満たします。

 S=PQ2(√3)/4=4(p2+q2)(√3)/4=(√3)(p2+q2)≧(√3)・4(5-2√3)/13=4(5√3-6)/13 になって、

 S の最小値は、4(5√3-6)/13=0.8185397…… です。


[参考] △PQRの面積の最大値

 [解答1]で、 x2={16(5-2√3)/13}/cos2(θ-α) ですが、

 tanα=(2√3+1)/(2+√3)=3√3-4 、θの範囲は ∠B-60゚≦θ≦90゚ です。

 tan(90゚-α)=(2+√3)/(2√3+1)=(3√3+4)/11 、

 tan(∠B-60゚)=(tan∠B-tan60゚)/(1+tan∠Btan60゚)=(2-√3)/(2√3+1)=(5√3-8)/11 、 

 tan{α-(∠B-60゚)}={tanα-tan(∠B-60゚)}/{1+tanαtan(∠B-60゚)}

  ={11tanα-11tan(∠B-60゚)}/{11+11tanαtan(∠B-60゚)}

  ={11(3√3-4)-(5√3-8)}/{11+(3√3-4)(5√3-8)}=(5√3+3)/11>tan(90゚-α) 、

 よって、α-(∠B-60゚)>90゚-α となり、θ=∠B-60゚ のとき最大になります。

 このとき、

 x2={16(5-2√3)/13}/cos2(∠B-60゚-α)={16(5-2√3)/13}{1+tan2(∠B-60゚-α)}

  ={16(5-2√3)/13}{1+(5√3+3)2/121}=80(13-4√3)/121 、

 △PQR=(1/4)(√3)x2=20(13√3-12)/121 です。

 なお、結局、PがBに一致するとき または PがCに一致するとき のどちらかで最大となります。

 PがCに一致するときは、RP=BC・2/(√3+1/2)<BC で、PがBに一致するときは、PQ>BC だから、

 PがBに一致するときに最大です。

 このとき、CQ=BC・tan(∠B-60゚)=BC・(5√3-8)/11

 PQ2=BC2+{BC・(5√3-8)/11}2=BC2・20(13-4√3)/121=80(13-4√3)/121 、

 とすれば、計算が楽になります。

.

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Comments 18

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
連休も最後の日となりましたね^^
ミゾソバ・・ほんとに可愛いです。
花言葉の純情はこの花のためにあるのではと
思うくらいすてき。

アキチャン  
No title

おはようございます。
本当に、健気な感じがして美しいですね(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

名前 ミゾソバですか

可愛い花ですね 散歩で見たこともあるようですね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

苦戦しました。でも最後は、客観的には今一つかもしれませんが、自分では満足な解になりました。

まず、△PQRが正三角形をなす時の、CPとCQの相関を求める。以下、r3は√3を意味します。
PQの中点をMとし、Mを通るBCの平行線とRからBCへの垂線の交点をSとすると、
<SMR=<CQP→△SMR∽△CQP,PQ:RM=2:r3→MS=(r3/2)CQ、RS=(r3/2)CP
故に、Rのx成分R(x)=PC/2+r3*CQ/2、R(y)=CQ/2+r3*PC/2
なお、AB上のR点には、R(y)=4-2*R(x)の相関があるので、
(CQ+r3*CP)/2=4-(CP+r3*CQ)→(2+r3)CP+(1+2*r3)CQ-8=0←①
↓つづく

tsuyoshik1942  
No title

↑つづき
(2+r3)CP+(1+2*r3)CQ-8=0←①
正三角形が最小となるのはPQ(=√(CP^2+CQ^2)が最小のときであり、
それは、①の直線に原点を中心に持つ円が接するときである。すなわち、
最小のPQ=8/√((2+r3)^2+(1+2*r3)^2)←(原点と直線間の距離)
正三角形の面積は(r3/4)*PQ^2なので、答は
ans=(r3/4)*8^2/(2+r3)^2+(1+2*r3)^2)→16*r3(20+8*r3)→(20*r3-24)/13

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも最初複素数の回転を考えるも…正三角形の中心と半径rを使って立式…も...扱い慣れてないため沈没…^^;
で…某サイトの似た問題の方法(解答1と同値)に倣ってなんとかゴール…Orz…
ところで...最大値の方はどうすれば求まるんでしょうか知らん…?
角Aの二等分線上に中心が来るときのような気がするけど…^^;...

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ミゾソバの花 可愛いですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ミゾソバはとく見られる野草の中でも可愛いと思います。
同じような花をつけるママコノシリヌグイは名前がひどいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
薄いピンクの花には優しさを感じますね。
仰るとおり、健気に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
多分、散歩で見かけられたことがあるでしょう。
ママコノシリヌグイも似ていますが、葉の形は違います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
Rが辺AB上にあることを使うのに、何通りか考えられますが、
貴殿の方法もいいですね。
私のは複素平面を利用するのが楽だと思っての解法です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
最大値の求め方は[参考]として追加しました。
Pの位置がBに一致するときで、辺AB上にRPがあるので避けました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ミゾソバの花は割に見られる野草です。
それでも出会えば可愛いと思います。

uch*n*an  
No title

うーむ,最大値を求めるならば[解答2]の方が楽でしょう。
[解答2]より,0 <= p <= 1,0 <= q <= 2,(2 + √3)p + (1 + 2√3)q = 4,p^2 + q^2 = S/√3
これを,tsuyoshik1942さんのように (p,q)-座標平面で考えれば,
0 < (2 - √3)/(1 + 2√3) < 4/(1 + 2√3) < 1 なので,
(p,q) は (0,4/(1 + 2√3)) と (1,(2 - √3)/(1 + 2√3)) を結ぶ線分上の点です。
この範囲で,S,すなわち p^2 + q^2,を最大にすればいいので,
明らかに (p,q) = (1,(2 - √3)/(1 + 2√3)),P = B,のときで,
Smax = (√3)(1^2 + ((2 - √3)/(1 + 2√3))^2) = (√3)(1 + ((5√3 - 8)/11)^2)
= (√3)(1 + (139 - 80√3)/121) = 20(13√3 - 12)/121
になります。

uch*n*an  
No title

なお,このとき,PR は AB 上にあるので,Q から AB に垂線を下ろしその足を H とすれば,
△PQR の中心 O は QH を 2:1 に内分する点,QO:OH = 2:1,ですが,
△AQH ∽ △ABC なので AQ:AH = AB:AC = √5:2 ≠ 2:1 = QO:OH となり,
残念ながら,O は ∠A の二等分線上にはないですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
最大値を求めるのはなんだか難しそうですね ^^;
そうだったらできなかったかも…^^;;

>残念ながら,O は ∠A の二等分線上にはないですね。
そうなんだ...
uch*n*anさん、わざわざ確認して頂き恐縮です…&...ありがとうございました~m(_ _)m~

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
最大値の求め方について、
[解答1]の続きとして丁寧に書きましたので面倒でしたが、
実際にはもっと簡単です。
[参考]に書き加えておきました。
O が ∠A の二等分線上にあるかどうかは考えませんでした。
△ABC,△PQRの内接円が同心には見えないからです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
最大値は△ABCと△PQRの辺が重なるので避けました。
uch*n*anさんへのリコメにも書きましたが、
△ABC,△PQRの内接円が同心には見えないです。