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[答820] 面積が最小の三角形

ヤドカリ

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[答820] 面積が最小の三角形


 AB=12,AC=15,BC=9 の △ABCがあって、辺BC上に BP=6 を満たすように 点Pをとります。

 半直線AB上に点Qを 半直線AC上に点Rを 直線QRが 点Pを通るようにとるとき、

 △AQRの面積の最小値は? また、そのときの AQ,AR の長さは?


[解答1]

 xy平面上で、A(-12,0),B(0,0),C(0,9),P(0,6),直線QRを y=mx+6 とします。

 辺ABの延長上にQ,辺AC上にR をとると、△AQR>△ABC だから、△AQRは最小になりませんので、

 辺ABにQ,辺ACの延長上にR をとります。このとき、m>3/4 になります。

 QRと x軸の交点は Q(-6/m,0)だから、AQ=12-6/m=6(2m-1)/m です。

 直線ACは y=3x/4+9 、x=4y/3-12 だから、 y=mx+6 に代入して、

 y=m(4y/3-12)+6 、12m-6=(4m/3-1)y 、6(2m-1)=(4m-3)y/3 、y=18(2m-1)/(4m-3) 、

 これは、Rの y座標だから、

 △AQR=(1/2){6(2m-1)/m}{18(2m-1)/(4m-3)}=54(2m-1)2/(4m2-3m) です。

 f(m)=54(2m-1)2/(4m2-3m) とおけば、

 f'(m)=54{4(2m-1)(4m2-3m)-(2m-1)2(8m-3)}/(4m2-3m)2

  =54(2m-1)(2m-3)/(4m2-3m)2 となって、

 3/4<m<3/2 のとき f'(m)<0 ,3/2<m のとき f'(m)>0 だから、

 m>3/4 のときの f(m) の最小値は f(3/2)=54(2・3/2-1)2/(4・9/4-3・3/2)=48 です。

 ( △ABC=12・9/2=54>48 だから、△AQRの最小値は 48 です )

 m=3/2 のとき、AQ=6(2m-1)/m=8 、

 Rの y座標は y=18(2m-1)/(4m-3)=12 、Rの x座標は x=4y/3-12=4 、R(4,12) 、AR=20 です。


[解答2]

 辺ABの延長上にQ,辺AC上にR をとると、△AQR>△ABC だから、△AQRは最小になりませんので、

 辺ABにQ,辺ACの延長上にR をとります。

 AQ=x,AR=y とすれば、0<x<12,15<y です。

 △ABCと直線QRでメネラウスの定理より、(AQ/QB)(BP/PC)(CR/RA)=1 だから、AQ・BP・CR=QB・PC・RA 、

 x・6・(y-15)=(12-x)・3・y 、2x(y-15)=y(12-x) 、3xy=12y+30x 、1=4/x+10/y になります。

 相加・相乗平均の関係により、

 √{(4/x)(10/y)}≦(4/x+10/y)/2 、(4/x)(10/y)≦{(4/x+10/y)/2}2 、40/(xy)≦1/4 、

 xy≧160 、(x/12)(y/15)≧8/9 、△AQR/△ABC≧8/9 、△AQR≧(8/9)△ABC=(8/9)・12・9/2=48 です。

 相加・相乗平均の関係で等号が成り立つとき、△AQR/△ABC=8/9 なので、△AQR<△ABC で、

 4/x=10/y=1/2 だから、x=8,y=20 なので、0<x<12,15<y を満たします。

 よって、△AQRの最小値は 48 で、このとき、AQ=8,AR=20 です。


[解答3]

 辺BC上に PC=PD となる点Dをとり、辺AB上に CA//DE となる点Eをとります。

 下の図のように、△PCR と合同な三角形着目して △AQRと等しい面積を水色で塗ると、

 QがEに一致するときに △AQRは最小になり 最小値は台形DEACに等しくなります。

 DB=3,BE=4,DE=5 になるので、台形DEAC=48,AE=8 ですので、

 △AQRの最小値は 48 で、AQ=8 、CR=DE=5 だから AR=20 です。

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Comments 17

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ニリンソウ  
No title

赤いですね~
でもわかりました・・・・クチナシの実ですね。
正月料理に活躍するのかな。

ナイス

ひとりしずか  
No title

果実の先端に伸びているのは萼片のなごりなんですね・・
赤い色がこの時期目立ちます
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これは微分でしかやっつけられなかったですが ^^;
[解答3]の幾何的な発想がAha~!!ですねぇ☆
△ABCを基本に考えてたんですが...閃き降臨せず…^^;;…Orz~

アキチャン  
No title

こんにちわ。
なんだか、クリスマス色ですね(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と変数の取り方は異なりましたが、最初は微分で最小値を捉えました。
その後、再考し相加相乗平均の関係を使いました。
ただ、図的解法がありそうに思え、事実それらしきリコメを拝見したので、改めて試みました。
結果、上手く解法を表現出来ませんでしたが、「解答3」に思い至りました。

樹☆  
No title

こんばんは
何のお花?と思ったら
ニリンソウさんが教えてくださいました。
うふ・・形・・まんまですね。
キントン作るとき、お世話になります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
仰るとおり、クチナシの実です。
私はこの形がいいなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
確かに実の赤い色が目立ちますね。
葉の緑と対照的です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
図形的に考えれば、算数のような問題ですね。
微分は便利ですが……。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
「クリスマス色」の意味がよく分かりませんが、
何かをイメージされてのコメントでしょうね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
クチナシの実の色は目立ちますね。
形もユニークで面白いです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[解答3]は図なしでは表現が面倒ですね。
あまり工夫しなくても解ける数学もいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
形が面白いので、私は好きです。
碁盤や将棋盤の脚は助言を嫌うという意味で、
クチナシの実を模したものです。

風 草  
No title

白い花とは対照的な赤い実がつくんですね~
色鮮やかですね。

ナイス☆

樹☆  
No title

ああ~脚はこの形だったのですか。。
義父が囲碁をしてましたから思わず見てきましたよ^^

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
梅雨時の白い花も美しいですが、赤い実の方が目立ちます。
本当に鮮やかな色でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難うございます。
私の義父も囲碁が好きで、碁会所を開いていました。
懐かしいです。