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[答826] 正三角形と長さ

ヤドカリ

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[答826] 正三角形と長さ


 正三角形ABCの 辺AB上に点P,辺BC上に点Q,辺CA上に点R があり、

 QB=8,QC=4,QR=6,∠PQR=30゚ であるとき、AP=?


[解答1]

 A(0,6√3),B(-6,0),C(6,0) とすれば、Q(2,0) で、

 AB:y=(x+6)√3 ,AC:y=(-x+6)√3 になり、R(r,(-r+6)√3) とします。

 QR2 は、(r-2)2+{(-r+6)√3}2=36 だから、

 r2-4r+4+3(r2-12r+36)=36 、r2-10r+19=0 、

 0<r<6 だから r=5-√6 になり、QRの傾きを m とすれば、

 m=(-r+6)(√3)/(r-2)=(1+√6)(√3)/(3-√6)=(1+√6)/(√3-√2)

  =(1+√6)(√3+√2)=3√3+4√2 、

 PQの傾きは、

 (m+tan30゚)/(1-m・tan30゚)=(m√3+1)/(√3-m)=(10+4√6)/(-2√3-4√2)

  =-(5+2√6)/(2√2+√3)=-(5+2√6)(2√2-√3)/5=-(4√2+3√3)/5 になって、

 PQ:y=-(4√2+3√3)(x-2)/5 になります。

 Pのx座標 x は、AB:y=(x+6)√3 を連立させて、

 -(4√2+3√3)(x-2)/5=(x+6)√3 、-(4√2+3√3)(x-2)=5(x+6)√3 、

 -(4√2+3√3+5√3)x=30√3-2(4√2+3√3) 、-(8√3+4√2)x=24√3-8√2 、

 -x=(24√3-8√2)/(8√3+4√2)=(3√6-2)/(√6+1)=(3√6-2)(√6-1)/5=4-√6 、

 AP=-2x=8-2√6 です。


[解答2]

 △PBQで正弦定理より 8/sin∠BPQ=PQ/sin60゚ 、sin∠BPQ=4(√3)/PQ で、

 △RQCで正弦定理より 4/sin∠QRC=6/sin60゚ 、sin∠QRC=(√3)/3 です。

 ∠BPQ+∠QRC=90゚ だから、sin2∠BPQ+sin2∠QRC=1 、

 48/PQ2+1/3=1 、48/PQ2=2/3 、PQ2=72 です。

 △PBQで余弦定理より PQ2=BQ2+BP2-2・BQ・BPcos60゚ 、

 72=64+BP2-8BP 、BP2-8BP-8=0 、BP=4+2√6 、

 AP=8+4-(4+2√6)=8-2√6 です。


[解答3]

 QからPBにおろした垂線の足をG,QからRCにおろした垂線の足をH とします。

 QC:QR=4:6=2:3 、QC:QH=2:√3 だから、QH:QR=√3:3=1:√3 ですので、

 三平方の定理により、QH:RH=1:√{(√3)2-12}=1:√2 です。

 BQ:QG:GB=2:√3:1 だから、8:QG:GB=2:√3:1 、QG=4√3 ,GB=4 です。

 ∠BPQ+∠QRC=90゚ だから、△PQG∽△QRH 、PG:QG=QH:RH 、PG:4√3=1:√2 、

 PG=2√6 、AP=12-PG-GB=12-2√6-4=8-2√6 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

あかい一筋がアクセントに~
何色も咲いているのですね
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはうまい考えも湧かず…^^;
>∠BPQ+∠QRC=90゚
にも気付くこともなく…^^;;
ただ、式を立てて計算させただけでしたぁ…Orz
[解答2]が使えるようになりたいと思わずにはいられません☆

ニリンソウ  
No title

これもネリネですか!
始めてみました。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

正弦定理と余弦定理を使用しましたが、「解答2」より煩雑でした。
>∠BPQ+∠QRC=90゚ には、自分も気づけず活用できませんでした。
少し面倒でしたが、筆算のみで追い込み、それらしき答が出てきたので良しとしました。

さっちゃんこ  
No title

真っ白にホンノリピンクの筋がポイントのようですね
花の少ない時期に長く咲いてくれるのは本当にありがたいですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私はこの色のネリネが好きです。
白を基調とした色に少しのアクセントがいいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
解き方はいろいろだと思いますが、
気づくべき所に気づけば労力が減りますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
少し花弁の幅が広いこのタイプのネリネが
見栄えがするように、私は思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
ちょっと面倒でも解ければ気分がいいですね。
解いた後により良い解き方が見つかればなお嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
ネリネは花の少ない時期まで咲いてくれるのが嬉しいです。
リボンのような花弁も魅力的です。

樹☆  
No title

こんばんは
美しい色ですね。。雪の女王みたいです^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
雪の女王? 流行りましたね。
今年の漢字は「税」だそうですね。