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[答827] 関数の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答827] 関数の最小値


 x の実関数 f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|28x-1|+|29x-1| の最小値は?


[解答]

 x≦1/29 の範囲で

 f(x)=-(x-1)-(2x-1)-(3x-1)-……-(28x-1)-(29x-1)=-435x+29 で単調減少、

 1≦x の範囲で

 f(x)=(x-1)+(2x-1)+(3x-1)+……+(28x-1)+(29x-1)=435x-29 で単調増加です。

 n=1,2,3,……,28 として、 1/(n+1)≦x≦1/n の範囲で

 f(x)=-(x-1)-(2x-1)-……-(nx-1)+{(n+1)x-1}+{(n+2)x-1}+……+(29x-1)

  =(x-1)+(2x-1)+(3x-1)+……+(28x-1)+(29x-1)-2{(x-1)+(2x-1)+……+(nx-1)}

  =435x-29-n(n+1)x+2n={435-n(n+1)}x+2n-29

 n≧21 のとき 435-n(n+1)<0 だから x≦1/21 の範囲で単調減少、

 n≦20 のとき 435-n(n+1)>0 だから 1/21≦x の範囲で単調増加です。

 よって、x=1/21 のとき最小値をとります。

 f(1/21)=-(1/21-1)-(2/21-1)-……-(20/21-1)+(22/21-1)+(23/21-1)+……+(29/21-1)

  =(20/21+19/21+……+1/21)+(1/21+2/21+……+8/21)

  =(20/21+1/21)・20/2+(1/21+8/21)・8/2=10+12/7=82/7 です。

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Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

冬紅葉というのでしょうか~
秋とは違ったおもむき感じます
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
青い空・白井雲 逆光のもみじが奇麗ですネ
ナイス☆彡

樹☆  
No title

.。.:*・゚わぁ~すてき:*・゚。:.*
青い空を通して白い雲と栬が一段とすてきです。
やどかりさんの感性にナイス

おはよう~ございます。毎日寒いですね。
風邪には注意してください。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
似たように考えたのですが…
式変形が不味かったのか…^^;
n=√435 のとき...
与式=2√435-30 (=11.713…)<82/7=11.714…
になる気がするんだけど...気の迷いでしたか知らん…^^; Orz...

ニリンソウ  
No title

まだこんな紅葉が見れるんですね。
白一色の世界から青空も見せてもらって
穏やかな気分になれますね。

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
みんさんと同じコメントになります。
ちょっと前のもみじに見えますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントを有難うございます。
寒さも厳しく、紅葉が少し黒ずんでいましたが、
空が綺麗なので撮りました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
青空と雲が残ったモミジの葉の間に見えました。
1週間ほど前の写真ですので、葉も散ってしまったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
青空と雲を主体に撮りました。
栬によって、青空と白い雲が引き立ちました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
1/21≦x≦1/20 の範囲で f(x)=15x+11 なので、
f(1/√435)=15/√435+11=11.71919495…… です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
1週間ほど前に撮ったものですが、厳しい寒さでした。
葉はだんだん少なくなっていると思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
1週間ほど前に撮ったものですが、
季節の進み方が早いので、もっと前に見えるかも知れません。