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[答828] 正八角形の面積

ヤドカリ

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[答828] 正八角形の面積


 1辺の長さが 1 の正八角形とその対角線について、

 対角線は20本ありますが、図の赤,緑,橙で表された3種類の長さのものがあります。

(1) 1辺の長さが 1 の正八角形の面積は?

(2) 赤の長さの対角線8本でできる図の正八角形の面積は?

(3) 緑の長さの対角線8本でできる図の正八角形の面積は?


[準備]

 正八角形のひとつおきの辺を延長してできる正方形を描けば、

 正八角形の頂点は、その正方形の辺を 1:√2:1=1/√2:1:1/√2 に分けることになります。

 従って、正方形と正八角形の辺の比は、(√2+1):1=1:(√2-1) です。


[解答1]

(1) 1辺の長さが 1 の正八角形は 1辺の長さが 1+√2 の正方形から、

  斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形4個を除いたもので、

  斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形4個を集めると1辺の長さが 1 の正方形ができるので、

  1辺の長さが 1 の正八角形の面積は (1+√2)2-1=2(√2+1) です。

(2) 赤の対角線の長さを a とすれば、

  a2=(1/√2+1)2+(1/√2)2=1/2+√2+1+1/2=2+√2 、

  正八角形の1辺は (√2-1)a だから、

  面積は 2(√2+1)・(√2-1)2a2=2(√2+1)・(√2-1)2(2+√2)=2√2 です。

(3) 正八角形のひとつおきの辺を延長してできる正方形の1辺は 1 だから、

  正八角形の1辺は √2-1 であり、

  面積は 2(√2+1)・(√2-1)2=2(√2-1) です。

(2) 赤の対角線の長さを a とすれば、

  a2=(1/√2+1)2+(1/√2)2={(1+√2)2+12}/2 だから、

  面積は (1)と(3)の平均で、{2(√2+1)+2(√2-1)}/2=2√2 になります。


[解答2]

(1) 1辺の長さが 1 の正八角形は 1辺の長さが 1+√2 の正方形から、

  斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形4個を除いたもので、

  斜辺の長さが 1 の直角二等辺三角形4個を集めると1辺の長さが 1 の正方形ができるので、

  1辺の長さが 1 の正八角形の面積は (1+√2)2-1=2(√2+1) です。

(2) 1辺の長さが 1 の正八角形から水色(または黄色)の三角形8個を除いたものです。

  この三角形の底辺をもとの正八角形と共有する辺とすれば、高さは、

  (1/√2)・(1/√2+1)/(1/√2+1+1/√2)=(1/√2)・(1+√2)/(1+√2+1)=1/2 、

  面積は 2(√2+1)-8・(1/2)・1・(1/2)=2√2 です。

(3) 1辺の長さが 1 の正八角形から水色(または黄色)の直角二等辺三角形8個を除いたものです。

  面積は 2(√2+1)-8・(1/2)=2(√2-1) です。

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Comments 15

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ひとりしずか  
No title

メタセコイアの木でしょうか?
よく通る散歩道でも見上げてから通ります
ナイス☆

ひとりしずか  
No title

今、空にはおぼろに月が見え
風に雪が舞い、積雪3㎝くらいかなぁ~
気温外-1℃、茶の間4℃です。

樹☆  
No title

わぁ~いつのも違って・・
なんだかレース編みみたいです。
これはこれで美しいです。

とても冷たい朝です。雪が霙にやがて氷雨です。
歩行には滑らないように注意しましょう。

ひとりしずかさんち・・4度ですか((((;゚Д゚))))

tsuyoshik1942  
No title

[解答」と比べると、自分の相似比の求め方は、22.5度の特性値を持ち出す等、大分野暮かったです。

きれいに答が並びましたね!
√表示の答の並びもきれいですが、問題番号に絡んだ(4.828..,2.828..,0.828..)も見事です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]は言われたらなるほどと思っちゃいましたが…☆
なかなか思いつけないです ^^; Orz...
真ん中の面積が両端の平均になってるなんて初めて知りましたぁ♪

ニリンソウ  
No title

三角形がクリスマスツリーのようですね。
まだ葉も残ってる!

ナイス

風 草  
No title

葉の落ちた枝の間から青空が見えて、長閑な初冬の風景ですね。
ナイス☆
今日は嵐のような風が吹いて寒いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
姿のいいメタセコイアの木を私もよく見上げます。
ところで、室外の氷点下も室内の4℃は寒いですね。
寒さ対策を万全になさってください。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
葉があまりないメタセコイアの姿は綺麗です。
ところで、こちらは雪や霙には無縁で、滑らないのですが、
風が強くて寒いです。
昨夜の晴れ渡った空を見て「放射冷却」の言葉が頭をよぎりました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
簡単な問題でしたが、答に2が並び、
近似値の小数点以下に 828 が並んだのが気に入っています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「真ん中の面積が両端の平均になってる」のは、
私もこの問題を作ってはじめて知りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
何ヶ所かでメタセコイアを見ますが、
こちらでは、どれも少しは葉が残っています。
ところで、北陸の雪は大変でしょう。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
枝の間の青空と雲が気に入ってカメラに収めました。
こちらも今日の風はきついです。

さっちゃんこ  
No title

落葉間際のメタセコイア 青空に紅葉が奇麗ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
メタセコイアの真っ直ぐな形が好きで、撮りました。
遠くで見ると葉脈のようにも見えます。