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[答829] 4点を通る円

ヤドカリ

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[答829] 4点を通る円


 BC:CA:AB=√5:√2:1 の △ABCがあり、辺BCの中点をMとします。

 P,M,Q が一直線上にあり、P,B,Q,C が同一円周上にあるように、

 ABの延長上に点P,AC上に点Qをとります。

 P,B,Q,C を通る円の半径が 58 のとき、辺BC の長さは?


[解答1]

 BM=MC=(√5)k,CA=(2√2)k,AB=2k とすれば、パップスの中線定理より、

 AB2+AC2=2(AM2+BM2) だから、

 4k2+8k2=2(AM2+5k2) 、AM=k になります。

 よって、∠BAM=90゚ になります。

 また、BA:AM=2:1=BC:CM より、ACは ∠BAM の外角の二等分線、∠MAC=45゚ になります。

 次に、AP=x>2k とすれば、PQ:QM=PA:AM=x:k だから、PM:MQ=(x-k):k 、MQ=kPM/(x-k) 、

 方べきの定理により、MP・MQ=MB・MC 、kPM2/(x-k)=5k2 、PM2=5k(x-k) 、

 x2+k2=5kx-5k2 、x2-5kx+6k2=0 、

 (x-2k)(x-3k)=0 、x>2k だから x=3k となり、AP=3k,BP=k です。

 ここで、sin∠MBA=1/√5,cos∠MBA=2/√5 だから、sin∠PBC=1/√5,cos∠PBC=-2/√5 です。

 余弦定理より、PC2=BP2+BC2-2・BP・BC・cos∠PBC だから、

 PC2=k2+20k2+2・k・(2√5)k(2/√5)=29k2 、PC=(√29)k 、

 △BPCの外接円の半径は PC/(2sin∠PBC)=(√29)k/(2/√5)=(√5)k(√29)/2=58 、

 (√5)k=2・58/√29=4√29 、BC=(2√5)k=8√29 です。


[解答2]

 k>0 として A(0,0),B(-k,0),C(k,k) とすれば、

 BC=(√5)k,CA=(√2)k,AB=k になり、M(0,k/2) です。

 また、0<q<k<p として P(-p,0),Q(q,q) (p>k,0<q<k) とすれば、

 P,M,Q が一直線上にあるので、PM,MQ の傾きが等しくなり、

 (k/2)/p=(q-k/2)/q 、2p をかけて k=(2q-k)p/q です。

 また、P,B,C,Q を通る円の中心をRとすれば、

 Rは PB,BC の垂直二等分線 x=(-p-k)/2,y=-2x+k/2 の交点で、R(-p/2-k/2,p+3k/2) になり、

 RQ2=RB2 より

 (q+p/2+k/2)2+(q-p-3k/2)2=(-p/2+k/2)2+(p+3k/2)2

 (q+p/2+k/2)2-(-p/2+k/2)2+(q-p-3k/2)2-(p+3k/2)2=0 、

 (q+k)(q+p)+q(q-2p-3k)=0 、2q2-pq-2kq+kp=0 、(2q-p)(q-k)=0 、 

 p=2q 、p/q=2 になります。

 k=(2q-k)p/q に代入して k=2(2q-k) 、q=3k/4 、したがって p=3k/2 です。

 RB2=(-p/2+k/2)2+(p+3k/2)2=(-k/4)2+(3k)2=145k2/16 、

 これが円の半径の2乗だから、145k2/16=582 、5k2=16・582/29=16・4・29 、

 BC=(√5)k=4・2・√29=8√29 になります。

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Comments 15

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ひとりしずか  
No title

わぁ~きれい!
スイセンのような気がしますが・・・
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
方ベキを使ったのは[解答1]と同じでしたが、△BPQと△BCQの外心円がこの円と一致していることから、2個の余弦定理を解いて求めるという方針でした…but...計算煩雑だった気がする... ^^;…Orz

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
クリスマスローズですか?
白いお花って大好きです。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

真っ白が爽やかですね~
デンドロの仲間? 蘭でしょう
スッキリしない空みながら過ごしています
ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ゆーちゃりすですね
此の花はハウスの中だったら周年花を付けるようですね
此方でも南郷のトロピカルドームでも見ることが出来ます
綺麗な花ですよね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花は ユーチャリス・グランディフローラ です。
アマゾンユリ,ギボウシズイセンの別名があります。
花の文化園の温室で見ました。
中央~南アメリカに分布する球根植物です。
3~6輪の花をうつむきかげんに咲かせます。
花は径5~6cm、先端が6枚の花びらに分かれます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ユーチャリスです。
姿は水仙に似ていますね。ギボウシズイセンの別名がそれを物語っています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
解答を見ても分かるように、計算はやや煩雑ですね。
面倒な問題を作ってしまいました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
花は、上に書きましたようにユーチャリスです。
私も白い花が好きで、よく目がいきます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたようにユーチャリスです。
蘭でなく、ヒガンバナ科の植物のようです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
トロピカルドームでも見られるのですね。
中南米原産で、トロピカルという語が合いますね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
清楚できれいですね~♪乙女のよう(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
貴女も確か白い花がお好きだったと思います。
仰るとおり、清楚な花ですね。

樹☆  
No title

真っ白いお花は大好きです。
これも名前はわかりません。
ユーチャリスというのですね。覚えてるかなぁ~~笑

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
ユーチャリスって名前は覚えにくいですね。
アマゾンユリなら覚えられそうです。