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[答830] 正三角形の1辺

ヤドカリ

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[答830] 正三角形の1辺


 1辺の長さが自然数の正三角形ABCがあり、辺BC上に BD=CD+2 となる B,C以外の点Dをとります。

 ADの長さも自然数になるとき、この正三角形の1辺として考えられる最短の長さは?

 また、2番目に短い長さは?


[解答]

 AからBCにおろした垂線の足をHとし、AD=x,BH=y とすれば、AH=y√3 だから、

 三平方の定理より、x2=3y2+1 になります。

 このとき、1辺の長さ 2y が奇数であれば x は自然数にならないので、y は自然数です。

 また、CD=y-1>0 なので y>1 です。

 y=2,3,4,…… と代入していくと、y=4 のとき x=7 ,y=15 のとき x=26 になり、

 1辺の長さ 2y は、 8,30 です。


[参考]

 一般には、ペルの方程式 x2-3y2=1 を満たす自然数の組(x,y)を求めることになります。

 (x,y)=(a,b) が x2-3y2=1 を満たせば、(x,y)=(2a+3b,a+2b) も x2-3y2=1 を満たします。

 (2a+3b)2-3(a+2b)2=a2-3b2 だからです。

 (x,y)=(2,1) が x2-3y2=1 を満たすので、(a,b) ⇒ (2a+3b,a+2b) の対応により、

 (x,y)=(2,1),(7,4),(26,15),(97,56),(362,209),(1351,780), …… が得られます。

 これ以外に、x2-3y2=1 を満たす(x,y)は存在しません。

 もし、これ以外に x2-3y2=1 を満たす(x,y)が存在し、(x,y)=(c,d) とすれば、

 (x,y)=(2c-3d,-c+2d) も x2-3y2=1 を満たします。

 (2c-3d)2-3(-c+2d)2=c2-3d2 だからです。

 また、d>1 ,c2=3d2+1 なので、4d2>3d2+1>d2 、4d2>c2>d2 で、負の平方根をとって、

 -2d<-c<-d 、0<-c+2d<d となり、(c,d) ⇒ (2c-3d,-c+2d) の対応により、

 yの値がより小さい(x,y)が得られ、これを続ければ 1<y<4 になりますが、

 x2-3y2=1 により、y=2,3 のとき xは自然数になりません。

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Comments 17

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ひとりしずか  
No title

今朝の気温マイナス7℃、
赤い実が太陽のよう
今朝の朝日は弱々しいかんじで~
ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
赤い実、きれいですね♪
本当に寒いですが、赤いものみると燃えているようでホッとします(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

はなみずきでしょうか?
まだ木の葉も残っててそちらは晩秋ですね。
さらさら雪が落ちてきます。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
真っ赤な実がとても奇麗で元気をもらえますね
小鳥たちも喜んで食べにきそうです

ナイス☆彡

tsuyoshik1942  
No title

x^2=3y^2+1から先が進みませんでした。
この問題の要求は、最短、および2番目だったので、実際に数値を代入し、無事答を得ることが出来ました。
もし、ずーと先に答があったらお手上げでした。
このような整数問題の解法に「ベルの方程式」なるものがあることは記憶のどこかにあったのですが、身についておりません。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも、そこからどうしたものか分からず…佇み…計算させちゃいましたら...ペル方程式の解みたいなのが現れましたが...やどかりさんの表現の方が分かりやすいですわ♪...but…
>(2a+3b)^2-3(a+2b)^2=a^2-3b^2
という恒等式はどうやれば見つけられるのでしょうか知らん?…^^;
Orz~

風 草  
No title

赤く艶やかな実が綺麗ですね~
コーティングしてあるお菓子みたいです。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
赤い実が太陽に見えますか?
それだけ太陽が恋しい寒い季節ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
寒くなってくると赤い実が多いのは、
植物の動物に対するアピールでしょうか。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
仰るとおり、ハナミズキです。
2週間前に寒さの中で撮ったのをアップし忘れていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
真っ赤な艶やかな実からも元気が貰えます。
野鳥に対するアピールですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
数値を代入して答が出ればいいと思います。
ペルの方程式の解き方は難しいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
恒等式は、(pa+qb)²-3(ra+sb)²=a²-3b² として
試行錯誤すれば見つかると思いますよ。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
ハナミズキの実も時々見ましたが、
こんなに艶やかなものは見たことがありませんでした。

樹☆  
No title

赤い実が艶やかです。
わたしが小鳥奈良・・食べ尽くしいほど
美しいですね。。

樹☆  
No title

奈良→なら

ぷぷっ・・面白い変換ミスでした

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
面白い変換ミスですね。
そう言えば、小鳥遊と書いてタカナシでしたね。