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[答79] 半円に内接する四角形

ヤドカリ

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[答79] 半円に内接する四角形


 図のように、BCを直径とする半円があって、

 BC=81cm, CD=9cm, DA=9cm のとき、ABの長さは?



[解答1]

 ∠ABD=∠CBD=θとします。 ∠BDC=90°ですので、sinθ=9/81=1/9 です。

 ∠BAC=90°ですので、AB=BCcos∠CBA=81cos2θ=81(1-2sin2θ)=81(1-2/81)=79。


[解答2]

 AB=x cm とします。

 ∠BAC=∠BDC=90°だから、三平方の定理より、AC2=BC2-AB2, BD2=BC2-CD2

 また、トレミーの定理より、AB・CD+BC・DA=AC・BD になります。

 したがって、(AB・CD+BC・DA)2=(BC2-AB2)(BC2-CD2)。

 (9x+9・81)2=(812-x2)(812-92)、これを解いて、x=79, -81。

 AB=79cm です。


[解答3]

 AB=x cm とします。

 BD//EA となるように、円周上に点Eをとると、ED=AB=x, EB=AD=9 となって、

 ∠BEC=∠BDC=90°だから、

 三平方の定理より、BD2=BC2-CD2=812-92

 また、トレミーの定理より、EB・CD+BC・DE=EC・BD=BD2 になります。

 したがって、9・9+81x=812-92、1+x=92-1、x=79。

 AB=79cm です。

☆ この解法は第65問でも使いましたね。


[解答4]

 BA, CD を延長し、交点をFとします。

 ∠FBD=∠CBD, BD⊥CF だから、△BCFは∠CBFを頂角とする二等辺三角形です。

 また、△DAFは二等辺三角形で、頂角∠ADF=∠CBF だから、△DAF∽△BCF になります。

 よって、AF:CF=DA:BC、AF:18=9:81、AF=2 となります。

 AB=BF-AF=79cm です。

☆ BDで折り返しても意味は同じです。

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Comments 6

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いっちゃん  
No title

こんばんは。
水仙の香りはいいですね^^
昨日、ご仏壇のお花を水仙にしたばかりです。。好きな花です。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
花が少ない時期に、いい香りを漂わせる水仙は、私の好きな花の1つです。
水仙はヒガンバナ科だそうですょ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗に咲き揃っていますね (o^-^o)

uch*n*an  
No title

[解答4]と結局は同じになりますが,
△DBC を D を中心に回転して,C を A に重ねて二等辺三角形を作る,
という解法もあります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
これも長居植物園で撮りました。
広いのでそれほどの香りはありませんでしたが、部屋にあればいいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、なるほどです。
図がそんなに大きくなるのは考えませんでした。
△ABD を D を中心に回転してもいいですね。