[答79] 半円に内接する四角形

[答79] 半円に内接する四角形


　図のように、BCを直径とする半円があって、

　BC＝81cm, CD＝9cm, DA＝9cm のとき、ABの長さは？



[解答1]

　∠ABD＝∠CBD＝θとします。 ∠BDC＝90°ですので、sinθ＝9/81＝1/9 です。

　∠BAC＝90°ですので、AB＝BCcos∠CBA＝81cos2θ＝81(1－2sin²θ)＝81(1－2/81)＝79。


[解答2]

　AB＝x cm とします。

　∠BAC＝∠BDC＝90°だから、三平方の定理より、AC²＝BC²－AB², BD²＝BC²－CD²、

　また、トレミーの定理より、AB･CD＋BC･DA＝AC･BD になります。

　したがって、(AB･CD＋BC･DA)²＝(BC²－AB²)(BC²－CD²)。

　(9x＋9･81)²＝(81²－x²)(81²－9²)、これを解いて、x＝79, －81。

　AB＝79cm です。


[解答3]

　AB＝x cm とします。

　BD//EA となるように、円周上に点Eをとると、ED＝AB＝x, EB＝AD＝9 となって、

　∠BEC＝∠BDC＝90°だから、

　三平方の定理より、BD²＝BC²－CD²＝81²－9²、

　また、トレミーの定理より、EB･CD＋BC･DE＝EC･BD＝BD² になります。

　したがって、9･9＋81x＝81²－9²、1＋x＝9²－1、x＝79。

　AB＝79cm です。

☆ この解法は第65問でも使いましたね。


[解答4]

　BA, CD を延長し、交点をFとします。

　∠FBD＝∠CBD, BD⊥CF だから、△BCFは∠CBFを頂角とする二等辺三角形です。

　また、△DAFは二等辺三角形で、頂角∠ADF＝∠CBF だから、△DAF∽△BCF になります。

　よって、AF：CF＝DA：BC、AF：18＝9：81、AF＝2 となります。

　AB＝BF－AF＝79cm です。

☆ BDで折り返しても意味は同じです。

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