[答79] 半円に内接する四角形
[答79] 半円に内接する四角形
図のように、BCを直径とする半円があって、
BC=81cm, CD=9cm, DA=9cm のとき、ABの長さは?
[解答1]
∠ABD=∠CBD=θとします。 ∠BDC=90°ですので、sinθ=9/81=1/9 です。
∠BAC=90°ですので、AB=BCcos∠CBA=81cos2θ=81(1-2sin2θ)=81(1-2/81)=79。
[解答2]
AB=x cm とします。
∠BAC=∠BDC=90°だから、三平方の定理より、AC2=BC2-AB2, BD2=BC2-CD2、
また、トレミーの定理より、AB・CD+BC・DA=AC・BD になります。
したがって、(AB・CD+BC・DA)2=(BC2-AB2)(BC2-CD2)。
(9x+9・81)2=(812-x2)(812-92)、これを解いて、x=79, -81。
AB=79cm です。
[解答3]
AB=x cm とします。
BD//EA となるように、円周上に点Eをとると、ED=AB=x, EB=AD=9 となって、
∠BEC=∠BDC=90°だから、
三平方の定理より、BD2=BC2-CD2=812-92、
また、トレミーの定理より、EB・CD+BC・DE=EC・BD=BD2 になります。
したがって、9・9+81x=812-92、1+x=92-1、x=79。
AB=79cm です。
☆ この解法は第65問でも使いましたね。
[解答4]
BA, CD を延長し、交点をFとします。
∠FBD=∠CBD, BD⊥CF だから、△BCFは∠CBFを頂角とする二等辺三角形です。
また、△DAFは二等辺三角形で、頂角∠ADF=∠CBF だから、△DAF∽△BCF になります。
よって、AF:CF=DA:BC、AF:18=9:81、AF=2 となります。
AB=BF-AF=79cm です。
☆ BDで折り返しても意味は同じです。
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