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[答831] 十二面体の体積

ヤドカリ

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[答831] 十二面体の体積


 1辺の長さが 3 で 対角線の長さの比が 1:√2 である菱形 12枚でできる十二面体の体積は?

 十二面体の頂点には菱形の鋭角は4個,菱形の鈍角は3個集まっています。


[解答1]

 菱形を4個の直角三角形に分けたら、辺の比は 1:√2:√3 だから、辺の長さは √3,√6,3 、

 菱形短い方の対角線で2つに分けた二等辺三角形の辺の長さは 3,3,2√3 です。

 この二等辺三角形4枚を側面とする正四角錐6個を頂点の所で集めると1辺が 2√3 の立方体になり、

 更に、この立方体の各面に同じ正四角錐を付けると問題の十二面体ができます。

 従って、求める体積は1辺が 2√3 の立方体の体積の2倍で、

 2・(2√3)3=48√3=8.313843876…… です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 菱形を4個の直角三角形に分けたら、辺の比は 1:√2:√3 だから、辺の長さは √3,√6,3 、

 菱形の対角線の長さは、2√3,2√6 です。

 そして この立体を 3辺が 2√6,2√6,2√3 となる直方体と比べると、

 かどの欠けた部分とピンクで示した飛び出している部分の底面と高さが同じで 体積が同じなので、

 求める体積=2√6・2√6・2√3=48√3=8.313843876…… です。


☆ この立体を「菱形十二面体」といいます。

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Comments 19

There are no comments yet.
tabi  
No title

写真が素晴らしいですね。

ひとりしずか  
No title

マユミかな?
赤い実がしみます
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
真弓の実はほんとにかわいいです。
盆栽にも仕立てられるそうですね。
小鳥は食べない実でしょう。ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
思わず、口に入れたくなるような…(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
美しい形でしたのに気付けず…^^;
菱形が12個、立方体の辺が12本なんだからイメージできなきゃいけませんでしたぁ…Orz…
6面に貼付けるフォルムを上手い具合にすれば…
球になるんですね...って当たり前ですけど…^^
そういえば...正十二面体のときは...屋根型みたいなのが張り付いてましたねぇ☆

ニリンソウ  
No title

雪の中に赤い実見つけるだけでもわくわくしますが
それらも見えなくなってしまった!
マユミですか、まだ葉がついてるのさえ新鮮です。
ナイス

uch*n*an  
No title

なるほど,確かに。これは気付けなかったな。対称性から気付くべきでしたね。
私の解法は三つでしたが,結局はここまで。

図が描けないのでざっくりと書きますが...
まず,ひし形の対角線の長さは,2√3,2√6,です。
そして,この立体を,3辺が 2√6,2√6,2√3 となる直方体と比べると,
凹んでいる部分と飛び出している部分の底面と高さが同じで体積が同じなので,,
求める体積 = 2√6 * 2√6 * 2√3 = 48√3 = 83.1…
になります。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
青空に真っ赤なマユミの実が奇麗ですネ

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
uch*n*anさんの解法(なる!!☆)と立方体がイメージできれば…
立方体内に埋め込めるから、この立方体の倍の体積なんですね♪

tsuyoshik1942  
No title

頭の中では形をイメージできず、型紙から実際に12面体を作成し、考えました。
形をきちんと把握できれば、体積の算出法はいくつかありそうに思えました。
今はその模型を壊してしまったため、「解答」および「uchinyanさんの解」ともにきちんと理解できておりません、が、少なくとも、自分の方法はこれらとは別のようです。

ヤドカリ  
No title

tabiさん、初めまして。
早速のコメントとナイス!を有難うございます。
気が向けばまたおいで下さい。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
マユミのピンクの実が青空のもと綺麗に見えました。
こんな光景が好きです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
マユミの実の色は、真っ赤な実と違って控えめですね。
なるほど、盆栽の大きさの樹でもいいかも知れません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
金平糖じゃないんだから、口に入れるのはどうかと思います。
が、とにかく可愛い実ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度にわたるコメントを有難うございます。
uch*n*anさんのコメントの図を加えておきました。
貴殿にはuch*n*anさんの方が分かりやすかったのですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
新潟の雪はかなりの量ですね。
こちらでは、仰るようにまだ葉がついています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
図を描きにくかったので、貴殿の解法は当初は書きませんでしたが、
加えさせて頂きました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
この様な実の背景に青空はよく似合います。
そんな光景が好きで、カメラに収めました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
紙で実際に菱形十二面体を作られたのですね。
私は小学生の頃、立方体に正四角錐をつけて、
隣り合う面を真っ直ぐにしたらこの形が出来ました。
後年、それが菱形十二面体と言われていることを知りました。
そんなことを思い出しての出題でした。