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[答833] 八角形の面積

ヤドカリ

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[答833] 八角形の面積


 図は1辺が 1 の正方形2枚を重ね、正方形の中心を回転の中心として一方を回転したものです。

 回転角(図の赤い点で示した角)の余弦が 4/5 のとき、重なる部分の八角形の面積は?


[解答]

 右図の緑の線2本で両方の正方形を4等分するので、直交します。

 従って、その端点を結ぶ線分を直径とする円周上に2つの正方形の頂点1つずつと中心があります。

 よって、回転角をθとすれば、重ならない部分の直角三角形の1つの角もθ、

 ( これは、対応する辺どうしのなす角が回転角と等しいことからも言えます )

 辺の比は sinθ:cosθ:1 で、辺の和は 正方形の1辺と等しく 1 なので、

 斜辺は 1/(sinθ+cosθ+1) です。

 求める八角形は、底辺が 1/(sinθ+cosθ+1),高さが 1/2 の三角形8個分で、

 面積は、 8{1/(sinθ+cosθ+1)}(1/2)/2=2/(sinθ+cosθ+1) です。

 本問では、sinθ=3/5,cosθ=4/5 なので、

 八角形の面積は、2/(3/5+4/5+1)=2・5/(3+4+5)=5/6 です。


☆ 一般化せずに、直角三角形の辺の比を 3:4:5 とすれば計算は楽です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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何の実でしょう?
実のなる木庭にいっぱい欲しいと・・・(笑)
ナイス☆

tsuyoshik1942  
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(3:4:5)の直角三角形に気づき、割とすんなり答が得られました。

正月も同じペースで出題予定とのこと、ありがとうございます。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
何の実かしら(o^-^o)
ずっと眺めていましたがわかりませんでした。。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
カリンの実です。たくさんなっていました。
私の家にも小さなのがありますが、
写真は長居植物園で撮ったものです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
一般的に解きましたが、
この問題を解くだけなら 3:4:5 の三角形に注目するのが楽ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
カリンの実です。
大きな木で高いところにたくさんの実がついていました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
すったもんだしてやっと、3:4:5に気付けましたぁ ^^;v
初見でしたが面白い関係がありましたのね♪
発見できないと大変な問題なんでしょねぇ…?…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
3:4:5 の三角形に気づけば簡単だったと思います。

ニリンソウ  
No title

カリンでしたか!
まだ葉がついているもので解りにくかった。
この辺では実だけが目立ちます。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
カリンの葉は今どんどん落ちてきます。
でも、まだだいぶ残っています。