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[答834] 扇形の塗り分け方

ヤドカリ

ヤドカリ



[答834] 扇形の塗り分け方


 図のように、円を扇形に8等分し、黄・緑・青・赤の4色の全部または一部で塗り分けます。

 隣り合う扇形は異なる色で塗るものとし、回転して同じになるものは同じものと見なすとき、

 塗り分け方は全部で何通り?


[解答1]

 まず、回転して同じでも異なるものと考え、円を扇形にn等分したものに塗る方法の数を an とします。

 特定の扇形から順に左回りに異なる色を塗るものとすれば、

 最初と最後の色が異なる場合と同じ場合を含めて a8+a7=4・37 ,a7+a6=4・36 ,a6+a5=4・35

 a5+a4=4・34 ,a4+a3=4・33 ,a3+a2=4・32 ,a2+a1=4・3 ですので、

 a8+a1=4・37-4・36+4・35-4・34+4・33-4・32+4・3=4・3{1-(-3)7}/{1-(-3)}=3(1+37)=6564 、 

 a1=0 ですので、a8=6564 になります。

 以下、回転して同じ塗り方になるものを同一のものとして考えると、

 図Bのように 180゚の回転で同一になるものは、

 1色を4ヶ所に塗り 1色を使わない場合の 4・3=12 通りと、

 4色とも塗る場合は円順列と同様の (4-1)!=6 通りの合計 18通り、

 図Cのように 90゚の回転で同一になるものは、2色の選び方で、42=6 通り、

 図Aのように 360゚の回転でしか同一にならないものは、(6564-18・4-6・2)/8=810 通りです。

 よって、求める場合の数は、 810+18+6=834 通りになります。


[解答2]

 まず、回転して同じでも異なるものと考え、円を扇形にn等分したものに塗る方法の数を an とします。

 左下図が円を扇形にn等分したものとして、矢印の扇形を最後に塗るものとします。

 最後に塗る扇形の両側の色が異なる場合、他の部分の塗り方は an-1 通り、

 最後に塗る扇形の両側の色が同じ場合、他の部分の塗り方は an-2 通りですので、

 最後に塗る色の決め方を含め、an=2an-1+3an-2 が成り立ちます。

 a1=0,a2=12 だから a3=2a2+3a1=24,a4=2a3+3a2=84,a5=2a4+3a3=240,a6=2a5+3a4=732,

 a7=2a6+3a5=2184,a8=2a7+3a6=6564 です。 ( 漸化式を解くと an=3n+3・(-1)n です )

 円を扇形に8等分する場合、右下図のように、

 a8-a4=6564-84=6480 通りが、8通りずつ回転して同じになり、

 a4-a2=84-12=72 通りが、4通りずつ回転して同じになり、

 a2=12 通りが、2通りずつ回転して同じになるので、

 求める場合の数は、 6480/8+72/4+12/2=810+18+6=834 通りになります。

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Comments 12

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樹☆  
No title

おはようございます
十月さくらですか?
違うのかな。。こんな時期に見られるとは。。

今年もたいへんお世話になりました。
いいお年をお迎えください。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
写真の花はヒマラヤザクラです。
毎年、年末に咲くのを楽しみにしています。
ところで、今年もたくさのコメントを戴き、有難うございます。
良いお年をお迎えくださいね。

ひとりしずか  
No title

↑ヒマラヤザクラですか
花びらの色が濃いですね!

こちらは昨夜降った雪でまた白い世界が広がりました。
気温-2℃(雪が降る時の気温ひどく低くはないんですよ)
引っ越し始めましたが、一昨日夫が腰を傷めるアクシデント
新年とともに新生活です(しんどいお正月になって・・・)
1年間コメント・ナイス!ありがとうございました<m(__)m>

ニリンソウ  
No title

今年最後のおはよう~~笑
こちら薄日さす穏やかな朝です。。。雪も無し。
今日の桜はヒマラヤサクラ!ですか
現地で咲いてる様子想像しますね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そっか☆
塗り分けの重複をどう考えればいいのか分かりませんでしたが…^^;
[解答2]で了解できましたぁ☆
8は…2,4回転の重複を除けばいいので...
a(8)は...2枚の組み合わせが1枚と見れば(a4), 4枚の組み合わせを1枚と見れば(a2)・・・(a4)を2回(2*45°=90°)回せば(a2)を1回(90°)を含んでる...
a(4)は…2枚の組み合わせを1枚と見ればa(2)
so...
((a8)-(a4))/8+((a4)-(a2))/4+(a2)/2
=((a8)+(a4)+2*(a2))/8
=(6564+84+2*12)/8
=834

発想が難しかったです…but...面白い問題でしたぁ♪

今年も1年間とっても楽しませて頂きましてありがとうございました☆
わたしにとってはいつも刺激的な勉強になってます ^^
他の皆さん方に負けないように(しっかり負けてますが…^^;)…
来年ももんで頂きたいと思ってますので...よろしくお願いしまっす。
♪~m(_ _)m~♪

uch*n*an  
No title

この問題は,出題日が別のサイトの出題日と重なり,しかも同じような問題で混乱し,
結構苦労してしまいました。都合,四つの方法で解き,解法としてまとめたのは二つ。
最初は,色を塗る所が多い順,0 か所も含む,に a,b,c,d として,
それらのパターンを調べ上げ,色を当てはめ,回転の仕方を考慮して足し上げる方法です。
これはすごく面倒で結局は間違っていたのですが,抜け,重複,計算間違いが積み重なり,
偶然に正解を得てしまいました。今考えるとすごく不思議です。
まぁ,答えの予想は容易につくので,無意識にそうなるように誘導されていたのかも。
二つ目は,プログラムです。これの結果が最初のと一致したので答えを送りました。
この後に再考し解法としてまとめましたが,(解法1)が[解答1],(解法2)が[解答2],でした。
こうして振り返るとそれほど難しいというわけでもないように思うのですが,
この問題に集中できず,最初に混乱し躓いたのが尾を引いた感じです。

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」でした。ただし、「6564」は泥くさく次のように数え上げました。
A0の色番号を1とした時の、1と1以外の2,3,4の逐次の推移を数え上げました。
(1,0),(0,3),(3,6),(6,21),(21,60),(60,183),(183,546),(546,1641)
1641*4=6564、このあと、対称性を持つ「解答の3例」を探し当てました。
「834」が出てきたのでほっとしました、ヒントがなければもっともっと験算しました。

自分はここの後、別のサイトに移り、ここの前半部分と同じ内容を目にして驚きました。

良いお年を!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらは今日の昼間は暖かい日でしたが、夜になって冷たい雨です。
明日からまた寒波らしいですので、
無理せずに新しい年をお迎え下さい。
今年1年もたくさんのコメントを戴き有難うございました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
ヒマラヤというような地域の名前がつく花は
その地方を想像できるのがいいですね。
今日の日中は、こちらも穏やかでしたが、
明日から寒くなるとの予報です。
今年のお付き合いに感謝しています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
重複を除くのは決まったパターンがなく、難しいですね。
ご理解いただいて嬉しいです。
今年1年も全部の問題に挑戦していただき、感謝しています。
来年もよろしくお願いします。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
塗り分けのこの問題が偶然に別サイトの塗り分けと重なりました。
「4色の全部または一部で」と断っておいたのが正解でした。
色を指定したのは、単に「4色で」と書くと、
4色全部を使うのかどうか分かりませんし、
「たくさんの色があるうちの4色」とも取れるので、
こんな解釈をすると答が出ませんが、慎重に書きました。
別解を含めて今年もたくさんの解答を頂いたことに感謝です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
「泥くさく」というのは、場合の数の基本ですね。
このような問題は、答が出てもなかなか
自信をもっての答にはなりませんね。
今年もたくさんの問題を解いていただき感謝しています。
来年のご多幸をお祈りいたします。