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[答836] 中線の延長の長さ

ヤドカリ

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[答836] 中線の延長の長さ


 BC=18,CA=13,AB=9 である△ABC の同じ平面上の外側に正方形ABDE,正方形ACFGを描き、

 BCの中点をM,MAの延長とEGの交点をP とするとき、AP=?


[準備]

 いずれの解答でも、AM=2√11 ,△ABC=2√770 を使いますので、準備しておきます。

 中線定理より、2(AM2+BM2)=AB2+AC2 、2(AM2+92)=92+132 、AM2=44 、AM=2√11 です。

 また、(9+13+18)/2=20 、ヘロンの公式により、△ABC=√{20(20-9)(20-13)(20-18)}=2√770 です。


[解答1]

 余弦定理より、

 cos∠BAM=(92+44-92)/(2・9・2√11)=(√11)/9 、cos∠CAM=(132+44-92)/(2・13・2√11)=(3√11)/13 、

 ∠EAP=90゚-∠BAM ,∠GAP=90゚-∠CAM だから、sin∠EAP=(√11)/9 ,sin∠GAP=(3√11)/13 です。

 △AEP+△AGP=△AEG=△ABC なので、

 (1/2)・AE・AP・sin∠EAP+(1/2)・AG・AP・sin∠GAP=2√770 、

 (1/2)・9・AP・(√11)/9+(1/2)・13・AP・(3√11)/13=2√770 、

 AP+3AP=4√70 、AP=√70 です。


[解答2]

 BAの延長上に BA=AQ を満たす点 Q をとると、中点連結定理により QC=2AM=4√11 、QC//AM 、

 △AGE は △ACQ を 点Aを中心に 90゚ 回転させたものだから、EG⊥AM 、EG⊥AP です。

 よって、△AGE において 底辺を EG とするときの高さを求めることになり、

 これは、△ACQ において 底辺を CQ とするときの高さと等しくなります。

 求める高さは 2△ACQ/CQ=2△ABC/(2AM)=△ABC/AM=(2√770)/(2√11)=√70 です。


[解答3]

 複素平面上で、A(0),B(w),C(z) とすれば、E(-iw),G(iz) だから、

 有向線分AMの表す複素数は (w+z)/2 ,有向線分EGの表す複素数は i(w+z) となって、

 AM⊥EG,AM=EG/2 になります。

 AP・AM=AP・EG/2=△AGE=△ABC だから、AP=△ABC/AM=(2√770)/(2√11)=√70 です。

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Comments 17

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uch*n*an  
No title

これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。私の解法は二つ。
(解法1)は[解答2]と同様に初等幾何による解法です。
ただ,△AGE の回転方向が反対だったせいか[解答2]より若干手間が増えたようです。
(解法2)は[解答3]と同様にワンポイントで複素数を使う解法です。
これも若干論理展開が違うのですが手間は同じ程度だと思います。
[解答1]のような三角比を使う解法も思い付きましたが,
何となく面白味に欠ける気がして解法としてはまとめませんでした。
いずれにせよ AP⊥EG なんですね。それが面白いと思いました。

ニリンソウ  
No title

冬は赤い実が多いですね~
ヤブコウジでも無し、万両でもなさそうで
カラタチバナかな?
今日もまぁまぁの温かさでまた山を歩いていました。
ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは真っ赤な可愛い実
何の実でしょう
マンリョウとは葉っぱが違いますね

真っ赤な実の色が鮮やかですネ
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

赤い実に元気をもらいました
ナイス☆
(夫がインフルA型に~わたしも感染しているかも・・)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
AP⊥EGを証明するのにこんなに簡単に言える複素数の威力は絶大☆
わたしゃ...いじくって証明しましたわ ^^;
それからどうやって求めたのか今となっては思い出せませんが…求まりました ^^; Orz…v

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ほんと、万両、千両に似てますね。赤い実はかわいいです♪

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
これは自分がスッキリ解けたこともあり、「きれいな問題だなぁ!」と感じ入りました。

ヤドカリ  
No title


写真の実はカラタチバナです。
別名はヒャクリョウ(百両)といい、
マンリョウ,センリョウに対比されます。
葉は互生し、やや厚く、長さ8~20㎝です。
果実は直径6~7㎜の球形の核果で、
秋に真っ赤に熟し、春まで残ります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
私もこの問題を作って、AP⊥EG を知りました。
私が知らなかっただけかも知れませんが、
図形にはまだまだ面白い性質があるのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
よくご存知ですね。仰る通り、カラタチバナです。
万両・千両の次に百両の写真を載せました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
万両・千両の写真の次に百両の写真を使いました。
赤い実に豊かさを求めて名付けられたのでしょうか。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
赤い実に元気を貰ってください。
その状態では、インフルエンザに感染しても仕方ないと思いますが、
発病しなければいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
複素平面は回転を扱うのに便利です。
私は[解答3]からこの問題を思いつきました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
万両・千両に似ている百両です。
赤い実を見ると、価値が 1/100,1/10 とは思えません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[解答2]が中学生にも分かる解き方ですね。
綺麗な問題という評価、恐れ入ります。

樹☆  
No title

こんばんは
百両の実ですか。。これもツヤツヤしてます^^
今年千題いきそうですね。。ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
カラタチバナ、百両でもすごい金額だったと思います。
ところで、今年も同じペースで続けられれば千題に近づきますが、
あまり先のことは考えられません。