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[答837] 外接円の半径

ヤドカリ

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[答837] 外接円の半径


 △ABCの外心と 辺BC,CA,AB の距離が 2,9,12 のとき、外接円の半径は?


[解答]

 cos2A+cos2B+cos2C=(1+cos2A)/2+(1+cos2B)/2+cos2C

  =1+(cos2A+cos2B)/2+cos2C=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos2C

  =1+cos(π-C)cos(A-B)+cos(π-A-B)cosC=1-cos(A-B)cosC-cos(A+B)cosC

  =1-{cos(A-B)+cos(A+B)}cosC=1-2cosAcosBcosC だから、

 1-(cos2A+cos2B+cos2C)-2cosAcosBcosC=0 、

 外接円の半径を R とすれば、

 R3-(R2cos2A+R2cos2B+R2cos2C)R-2(RcosA)(RcosB)(RcosC)=0 です。

 △ABCが鋭角三角形のとき、RcosA=2,RcosB=9,RcosC=12 ですので、

 R3-229R-432=0 、(R-16)(R2+16R+27)=0 、R=16,-8±√37 です。

 △ABCが鈍角三角形のとき、RcosA=-2,RcosB=9,RcosC=12 ですので、

 R3-229R+432=0 、(R+16)(R2-16R+27)=0 、R=-16,8±√37 です。

 この中で、R>12 を満たすものは、R=16,8+√37 です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
No title

今朝はうっすら雪景色、青空が恋しい~
ナイス☆

こっこちゃん  
No title

こちらは今日まで気温は平年並みの
ようですが今夜から 又冷え込むそうです

早く春が待たれますよね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
(4RS)^2=(8*abc)^2とヘロンとピタゴラスで考えましたが…
式はややこしく、PCに解かせましたぁ ^^; Orz~
解の残りの1個が意味するものは何なんでしょうか知らん…?...

ニリンソウ  
No title

いい青空ですね~この木何の木?
花でもなく実でもなく
くっついてるのは花殻? ムクゲかな

それでも新芽もちゃんと用意してるのでしょう。
ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
青空、きれい♪、新芽も気持ちよく出ていますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
其方は雪景色ですか。
昨日の夜から冷えますね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらは昨日の夜から冷え込んで、今日は殆ど気温が上がりません。
仰る通り、春が待ち遠しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
一応、手計算で解けるような問題にしています。
8-√37 の意味は考えませんでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ユリノキです。
青空に映えて綺麗でしたので、撮ってみました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ユリノキが青空を背景に綺麗に見えました。
見えているのは、新芽でなく、花殻だと思います。

tsuyoshik1942  
No title

年頭の問題で躓きました。
最初問題を見たときはどうにでもなるように思えたのですが、いろいろいじっても進みませんでした。
中でも、三角関数を使った方法に一番傾注したのですが、
[解答」のような上手い組み立てが出来ませんでした。

最後に、スモークマンさんと同じ手法(a^2=4*(√(r^2-2^2))ととり、abc/4rとヘロン)に思い至りました。
ただし、簡単でない3次方程式を解くことになってしまいました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik194さん、コメントを有難うございます。
三角関数は便利だと思います。
うまく使えば威力を発揮します。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは

ゆりの木は未だ見たことがないので分かりませんが花ガラが開いて花のように見えるのですネ

青空に花が咲いたように奇麗に輝いていますね

ナイス☆彡

樹☆  
No title

こんばんは
今日はまた寒くなりました。。
ユリノキですか?高木ですね。
青空にきれいです。こぶしかなと思いましたが
時期には早いかなと^^ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
ユリノキの花は魅力的なので、花が咲いているときは綺麗です。
寒空の花殻を撮ったのは初めてでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
昨日も今朝も寒いです。
青空にコブシが咲く頃は少し寒さが和らぐ頃ですね。