[答838] 六角形の周囲の長さ
[答838] 六角形の周囲の長さ
半径が1のに内接する六角形ABCDEFがあり、AB=BC=CD=DE ,EF=FA=2AB です。
このとき 六角形ABCDEFの周囲の長さは?
[解答1]
円の中心をO,∠AOB=∠BOC=θ とすれば、∠OAF=∠OFA=θ になります。
AB/2=sin(θ/2) より AB=2sin(θ/2) 、AF/2=cosθ 、AF/2=AB だから、
cosθ=2sin(θ/2) 、cos2θ=4sin2(θ/2) 、cos2θ=2(1-cosθ) 、
(AF/2)2=2(1-AF/2) 、AF2+4AF+4=12 、(AF+2)2=12 、
AF+2>0 だから AF+2=2√3 、AF=2√3-2 、
六角形ABCDEFの周囲=4AF=4(2√3-2)=8√3-8 になります。
[解答2]
AB=BC=x,BF=y とすれば、AF=2x になります。
△BCFで、y2=4-x2 ,cos∠BFC=y/2 です。
△ABFで、余弦定理より、x2=4x2+y2-4xy・cos∠AFB 、x2=4x2+y2-2xy2 、
0=3x2+(4-x2)-2x(4-x2) 、x3+x2-4x+2=0 、
(x-1)(x2+2x-2)=0 、0<x<1 だから、x=-1+√3 、
六角形ABCDEFの周囲=8x=8(-1+√3)=8√3-8 になります。
[解答3]
AB=FG となるように 弧FE上に点Gをとり、
AB=x,BF=y とすれば、AB=FG=x,BF=AG=y,AF=2x,BG=2 になります。
△ABGで、三平方の定理より、y2=4-x2 です。
四角形ABGFで、トレミーの定理より、x2+4x=y2 です。
よって、x2+4x=4-x2 、x2+2x-2=0 、0<x<1 だから、x=-1+√3 、
六角形ABCDEFの周囲=8x=8(-1+√3)=8√3-8 になります。
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