[答838] 六角形の周囲の長さ

[答838] 六角形の周囲の長さ


　半径が１のに内接する六角形ABCDEFがあり、AB＝BC＝CD＝DE ，EF＝FA＝2AB です。

　このとき 六角形ABCDEFの周囲の長さは？


[解答1]

　円の中心をO，∠AOB＝∠BOC＝θ とすれば、∠OAF＝∠OFA＝θ になります。

　AB/2＝sin(θ/2) より AB＝2sin(θ/2) 、AF/2＝cosθ 、AF/2＝AB だから、

　cosθ＝2sin(θ/2) 、cos²θ＝4sin²(θ/2) 、cos²θ＝2(1－cosθ) 、

　(AF/2)²＝2(1－AF/2) 、AF²＋4AF＋4＝12 、(AF＋2)²＝12 、

　AF＋2＞0 だから AF＋2＝2√3 、AF＝2√3－2 、

　六角形ABCDEFの周囲＝4AF＝4(2√3－2)＝8√3－8 になります。


[解答2]

　AB＝BC＝x，BF＝y とすれば、AF＝2x になります。

　△BCFで、y²＝4－x² ，cos∠BFC＝y/2 です。

　△ABFで、余弦定理より、x²＝4x²＋y²－4xy･cos∠AFB 、x²＝4x²＋y²－2xy² 、

　0＝3x²＋(4－x²)－2x(4－x²) 、x³＋x²－4x＋2＝0 、

　(x－1)(x²＋2x－2)＝0 、0＜x＜1 だから、x＝－1＋√3 、

　六角形ABCDEFの周囲＝8x＝8(－1＋√3)＝8√3－8 になります。


[解答3]

　AB＝FG となるように 弧FE上に点Gをとり、

　AB＝x，BF＝y とすれば、AB＝FG＝x，BF＝AG＝y，AF＝2x，BG＝2 になります。

　△ABGで、三平方の定理より、y²＝4－x² です。

　四角形ABGFで、トレミーの定理より、x²＋4x＝y² です。

　よって、x²＋4x＝4－x² 、x²＋2x－2＝0 、0＜x＜1 だから、x＝－1＋√3 、

　六角形ABCDEFの周囲＝8x＝8(－1＋√3)＝8√3－8 になります。

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