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[答838] 六角形の周囲の長さ

ヤドカリ

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[答838] 六角形の周囲の長さ


 半径が1のに内接する六角形ABCDEFがあり、AB=BC=CD=DE ,EF=FA=2AB です。

 このとき 六角形ABCDEFの周囲の長さは?


[解答1]

 円の中心をO,∠AOB=∠BOC=θ とすれば、∠OAF=∠OFA=θ になります。

 AB/2=sin(θ/2) より AB=2sin(θ/2) 、AF/2=cosθ 、AF/2=AB だから、

 cosθ=2sin(θ/2) 、cos2θ=4sin2(θ/2) 、cos2θ=2(1-cosθ) 、

 (AF/2)2=2(1-AF/2) 、AF2+4AF+4=12 、(AF+2)2=12 、

 AF+2>0 だから AF+2=2√3 、AF=2√3-2 、

 六角形ABCDEFの周囲=4AF=4(2√3-2)=8√3-8 になります。


[解答2]

 AB=BC=x,BF=y とすれば、AF=2x になります。

 △BCFで、y2=4-x2 ,cos∠BFC=y/2 です。

 △ABFで、余弦定理より、x2=4x2+y2-4xy・cos∠AFB 、x2=4x2+y2-2xy2

 0=3x2+(4-x2)-2x(4-x2) 、x3+x2-4x+2=0 、

 (x-1)(x2+2x-2)=0 、0<x<1 だから、x=-1+√3 、

 六角形ABCDEFの周囲=8x=8(-1+√3)=8√3-8 になります。


[解答3]

 AB=FG となるように 弧FE上に点Gをとり、

 AB=x,BF=y とすれば、AB=FG=x,BF=AG=y,AF=2x,BG=2 になります。

 △ABGで、三平方の定理より、y2=4-x2 です。

 四角形ABGFで、トレミーの定理より、x2+4x=y2 です。

 よって、x2+4x=4-x2 、x2+2x-2=0 、0<x<1 だから、x=-1+√3 、

 六角形ABCDEFの周囲=8x=8(-1+√3)=8√3-8 になります。

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Comments 14

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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わぁ~きれい!
サザンカの別名“姫椿”がぴったりな感じ
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
今日は真っ白なササンカ・・大好きです。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
山茶花なのですか?
優しい色のお花で素敵です。
ナイス☆
道東では山茶花も椿もありません(^^ゞ

ニリンソウ  
No title

今日は白い山茶花ですね。
雪国では色の少ない冬にやっぱり赤の方がいいなぁ
今日も灰色の空ですよ。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
真っ白の山茶花が奇麗ですネ
ピンクの山茶花もいいけど八重咲きの白の山茶花は豪華に見えますね
ナイス☆彡

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」もどきでした。
解の一つは目見当で推察きるとはいえ、3次方程式になってしまいました。

「解答3」の並べ替えは頭の隅にあったのですが、上の方法で答を得てしまったため、追求を怠りました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも[解答3]の方法でしたが…3次方程式を解くはめになってしまいました…^^;...直径になることを忘れておりました…Orz~

平方数の問題に煩悶…^^;;...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
山茶花の美しい季節です。
純白の山茶花の花弁の透明感がいいと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
樹ちゃんは白い花がお好きですね。
私も白い花が好きで、すぐに目につきました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
はい、山茶花です。
山茶花も椿も寒い時に咲く花ですが、
そちらは寒すぎるのですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
なるほど、雪国でこの色の花は目立ちませんね。
こちらも、灰色の空が多いです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
山茶花に限らず、八重咲きは豪華に見えますね。
花が少ないこの時期は屋外であまり豪華な花は見られません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
この手の問題は解き方が多いですね。
そんな中でなるべく鮮やかに解きたいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
直径になるというのはちょっとしたことですが計算量は違います。
ちょっとしたことに気づくと嬉しいですね。