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[答80] 四角形の分割

ヤドカリ

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[答80] 四角形の分割


 図のように、四角形ABCDの各辺の中点をK,L,M,N、KMとLNの交点をPとすると、

 四角形BLPK=60cm2, 四角形CMPL=63cm2, 四角形DNPM=52cm2 です。

 同じ四角形の対角線の交点をOとするとき、△OBCの面積は?



[解答]

 四角形ABCDの面積をSとします。

 中点連結定理より、KN//BD, KN=BD/2, LM//BD, LM=BD/2 だから、

 △AKN=△ABD/4, △CML=△CDB/4 となって、△AKN+△CML=S/4。

 同様に、KL//AC, KL=AC/2, NM//AC, NM=AC/2 だから、

 △BLK=△BCA/4, △DNM=△DAC/4 となって、△BLK+△DNM=S/4。

 したがって、△AKN+△BLK+△CML+△DNM=S/2。

 また、四角形KLMNは平行四辺形で、面積はS/2 だから、

 △PNK=△PKL=△PLM=△PMN=S/8。

 したがって、四角形AKPN+四角形CMPL=四角形BLPK+四角形DNPM=S/2、

 四角形AKPN+63=60+52=S/2、四角形AKPN=49、S=224、S/8=28 となって、

 △AKN=21, △BLK=32, △CML=35, △DNM=24 です。

 次に、

 △OAB:△OBC=△ODA:△OCD=OA:OC より、

 OA:OC=△ABD:△CDB=△AKN:△CML=21:35=3:5、

 △OAB:△ODA=△OBC:△OCD=OB:OD より、

 OB:OD=△ABC:△CDA=△BLK:△DNM=32:24=4:3、

 △OAB:△OBC:△OCD:△ODA=12:20:15:9。

 よって、△OBC=(20/56)S=(20/56)・224=80 となります。

.

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Comments 2

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
そっか...やっとトレースできました ^^;v
気づけなかった...けど...感動です♪
☆☆☆

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
ポイントは、中央に平行四辺形ができることと、
右上+左下、左上+右下、のいずれも元の四角形の 1/4 になることです。