[答839] 展開図が正方形の立体
[答839] 展開図が正方形の立体
図のような、面積が 12 の正方形の展開図をもつ立体の体積は?
ただし、折り目は正方形の対角線と、その3等分点と正方形の頂点を結んだ線分です。
また、折り目のうち点線部分は谷折り、他は山折りです。
[解答]
まず、斜辺の長さを 6a として、半分の立体(底面が正三角形の斜三角錐)で考えます。
図の赤線で切断すると、3辺の長さは、(√3)a,3a,(3√2)a になります。
△ABCの3辺を BC=(√3)a,CA=3a,AB=(3√2)a とし、
Aから直線BCにおろした垂線の足をH とすれば、
AH2=AB2-BH2=18a2-{(√3)a+CH}2 、
AH2=AC2-CH2=9a2-CH2 だから、
9a2-CH2=18a2-{(√3)a+CH}2 、(2√3)aCH=6a2 、CH=(√3)a 、
AH2=9a2-CH2=6a2 、AH=(√6)a です。
これが斜三角錐の高さになり、体積は (1/3)・(√3)a2・(√6)a=(√2)a3 です。
一方で、もとの正方形の面積は 18a2=12 より、a2=6/9 、a=(√6)/3 で、、
求める立体の体積は、2・(√2)a3=(2√2)(6√6)/27=(8√3)/9 です。
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