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[答839] 展開図が正方形の立体

ヤドカリ

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[答839] 展開図が正方形の立体


 図のような、面積が 12 の正方形の展開図をもつ立体の体積は?

 ただし、折り目は正方形の対角線と、その3等分点と正方形の頂点を結んだ線分です。

 また、折り目のうち点線部分は谷折り、他は山折りです。


[解答]

 まず、斜辺の長さを 6a として、半分の立体(底面が正三角形の斜三角錐)で考えます。

 図の赤線で切断すると、3辺の長さは、(√3)a,3a,(3√2)a になります。

 △ABCの3辺を BC=(√3)a,CA=3a,AB=(3√2)a とし、

 Aから直線BCにおろした垂線の足をH とすれば、

 AH2=AB2-BH2=18a2-{(√3)a+CH}2

 AH2=AC2-CH2=9a2-CH2 だから、

 9a2-CH2=18a2-{(√3)a+CH}2 、(2√3)aCH=6a2 、CH=(√3)a 、

 AH2=9a2-CH2=6a2 、AH=(√6)a です。

 これが斜三角錐の高さになり、体積は (1/3)・(√3)a2・(√6)a=(√2)a3 です。

 一方で、もとの正方形の面積は 18a2=12 より、a2=6/9 、a=(√6)/3 で、、

 求める立体の体積は、2・(√2)a3=(2√2)(6√6)/27=(8√3)/9 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

ナンテンの赤、色の少ない時期当地では目立っています。
(新居の庭には白があります)
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

難を転ずる(ナンテン)どこの家でも植えてるようです
我が家のはというとなかなか実が成らない。
買った時は見事だったのにね~

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いかにオブジェがイメージできるかにかかってました…^^;
山折りと谷折を逆にした方が考えやすいですね ^^
1辺が1の立方体の1/3^3 の体積になるのはたまたまなんだろうか知らん…?…Orz~

tsuyoshik1942  
No title

展開図だけでは立体をイメージできず、実際に組み立て、ナポレオンの帽子を作りました。
その後は、「解答」と同じ道を歩み答を得ました。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
南天の実が見事ですね!!
難を転じ福と成す!!
一杯良いことが有りそうです!!
ナイス♪

樹☆  
No title

こんにちは
あっという間に3連休も終わりました。
1月も早いですね。
写真撮るのがお上手です。
わたしが小鳥なら・・まっさきに、これ食べたいです。笑

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントを有難うございます。
南天はありふれた植物ですのでよく目にします。
特に雪の多いそちらでは赤はよく目立つでしょうね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
我が家にも南天があって、何もしないのに実もできます。
落ちた種から芽が出ることも多いですよ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
山折りと谷折りを逆にすると、裏向くと思いますが、
考えやすい方で考えればいいことですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
正方形の紙を折れば簡単にできますね。
体積はまず半分を考えるのでしょうが、
切り方は2通りあって、どちらでもいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
南天はよく見かける植物ですが、
難を転じるという人々の祈りのようなものを感じます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
休みの日は時間の経過が早いですね。
ところで、私の写真はオートフォーカスで撮ったもの、
カメラだのみです。