[答839] 展開図が正方形の立体

[答839] 展開図が正方形の立体


　図のような、面積が 12 の正方形の展開図をもつ立体の体積は？

　ただし、折り目は正方形の対角線と、その３等分点と正方形の頂点を結んだ線分です。

　また、折り目のうち点線部分は谷折り、他は山折りです。


[解答]

　まず、斜辺の長さを 6a として、半分の立体(底面が正三角形の斜三角錐)で考えます。

　図の赤線で切断すると、３辺の長さは、(√3)a，3a，(3√2)a になります。

　△ABCの３辺を BC＝(√3)a，CA＝3a，AB＝(3√2)a とし、

　Aから直線BCにおろした垂線の足をH とすれば、

　AH²＝AB²－BH²＝18a²－{(√3)a＋CH}² 、

　AH²＝AC²－CH²＝9a²－CH² だから、

　9a²－CH²＝18a²－{(√3)a＋CH}² 、(2√3)aCH＝6a² 、CH＝(√3)a 、

　AH²＝9a²－CH²＝6a² 、AH＝(√6)a です。

　これが斜三角錐の高さになり、体積は (1/3)･(√3)a²･(√6)a＝(√2)a³ です。

　一方で、もとの正方形の面積は 18a²＝12 より、a²＝6/9 、a＝(√6)/3 で、、

　求める立体の体積は、2･(√2)a³＝(2√2)(6√6)/27＝(8√3)/9 です。

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