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[答840] 平方数になる項の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答840] 平方数になる項の個数


 自然数 x に対し、n(n+x) が平方数になるような自然数 n の個数を f(x) とします。

 例えば、n(n+32) は、4(4+32),18(18+32),49(49+32) の場合だけ平方数なので、f(32)=3 です。

 では、f(x)=40 を満たすとき x=?

 ( 答は無限にありますので、小さい方から3番目までを求めて下さい )


[解答]

 以下、全ての文字は自然数を表すものとし、x の正の約数の個数を d(x) とします。

 n(n+x)=k2 とおけば、(n+x/2)2-k2=(x/2)2

 (n+x/2+k)(n+x/2-k)=(x/2)2 になります。

 x が奇数のとき、(2n+x+2k)(2n+x-2k)=x2 だから、

  AB=x2,A>B を満たす A,B に対して 2n+x+2k=A ,2n+x-2k=B とすれば、

  GCD(A,B)=g とおくと、A=a2g ,B=b2g と表せて、abg=x ,a>b ,

  n=(A+B-2x)/4=(a2g+b2g-2abg)/4=(a-b)2g/4 ,

  k=(A-B)/4=(a2g-b2g)/4=(a+b)(a-b)g/4 になり、

  abg=x は奇数だから a,b も奇数で、a+b,a-b が偶数となって、自然数 n,k が存在します。

  従って、f(x) は A,Bの決め方の総数で f(x)={d(x2)-1}/2 になります。

 x が偶数のとき、(n+x/2+k)(n+x/2-k)=(x/2)2 だから、

  AB=(x/2)2,A>B を満たす A,B に対して n+x/2+k=A ,n+x/2-k=B とすれば、

  n=(A+B-x)/2 ,k=(A-B)/2 になり、

  自然数 n,k が存在するためには、A+B,A-B がともに偶数の場合です。

  AB=(x/2)2 は奇数ならば A,B も奇数で、A+B,A-B が偶数ですので、

  f(x) は A,Bの決め方の総数であり、f(x)={d((x/2)2)-1}/2 です。

  AB=(x/2)2 は偶数ならば A,Bの少なくとも一方が偶数だから、

  A+B,A-B がともに偶数になるのは A,Bの両方が偶数のときで、A=2a,B=2b とすれば

  AB=4ab=(x/2)2 、ab=(x/4)2

  f(x) は a,bの決め方の総数であり、f(x)={d((x/4)2)-1}/2 です。

 結局、x が奇数のとき f(x)={d(x2)-1}/2 ,

 x が半偶数(4の倍数以外の偶数)のとき f(x)={d((x/2)2)-1}/2 ,

 x が4の倍数のとき f(x)={d((x/4)2)-1}/2 になります。

 x が奇数のとき f(x)={d(x2)-1}/2=40 とすれば d(x2)=81 だから、

  x2=p2q2r2s2,p8q2r2,p8q8,p26q2,p80 (p,q,r,s は異なる奇素数)

 x が半偶数のとき f(x)={d((x/2)2)-1}/2=40 とすれば d((x/2)2)=81 だから、

  (x/2)2=p2q2r2s2,p8q2r2,p8q8,p26q2,p80 (p,q,r,s は異なる奇素数)

 x が4の倍数のとき f(x)={d((x/4)2)-1}/2=40 とすれば d((x/4)2)=81 だから、

  (x/4)2=p2q2r2s2,p8q2r2,p8q8,p26q2,p80 (p,q,r,s は異なる素数)

 x=pqrs,p4qr,p4q4,p13q,p40,2pqrs,2p4qr,2p4q4,2p13q,2p40 (p,q,r,s は異なる奇素数)

   4pqrs,4p4qr,4p4q4,4p13q,4p40 (p,q,r,s は異なる素数)

 このうち、小さいものから3個は、4・2・3・5・7=840,4・24・3・5=960,3・5・7・11=1155 です。

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Comments 19

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ひとりしずか  
No title

野菜の花ですね・・・
一番厳しい2月の寒さの向こうに待つ春がしのばれます
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

[解答」読ませていただきましたが、まだ消化不良です。
引き続き勉強させていただきます。

自分は、筆算での追い込みでは埒が明かず、十進BASICを頼ってしまいました。
なのに、ミスをおかし、そのミスに中々気づけず、てこずりました。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
ブロッコリーの花でしょうか?
此れから色んな野菜に花芽がついて綺麗な花を楽しめますね♪
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは...途中からどう考えればいいのかにっちもさっちもでしたぁ…^^;
少なくともわたしには難問でしたわ…Orz…
同じく消化不良...よく噛み砕いて咀嚼できればと思います ^^;v

こっこちゃん  
No title

今時 花が少ないので

お野菜の花が咲いてくれて嬉しいですよね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

そういえば自分は、この問題への取り込み過程で、
x(1,2,3..10)に対しf(x)が{0,0,1,0,1,1,1,1,2,1}となることを得、
例の事典を検索しました。
そして、(A115878)を見つけ、妙に感激しました。
ただし、数の並びがf(102)までしかなく、この問題の解答には役に立ちませんでした。

ニリンソウ  
No title

ブロッコリーこんな花が咲いても食べれるらしいよ。
野菜の花は黄色が多いようですね。
芸術的に撮れてます。

ナイス

樹☆  
No title

こんにちは
もう菜の花も咲いてきたと聞きました。一足先に
春の訪れ・・うれしいですね。
ブロッコリーも好きです^^

uch*n*an  
No title

うーむ,やはり[解答]もかなり面倒ですね。難問と言ってよさそうです。
私は時間がなかったこともありきちんとは解けなかったのですが,
考え方が少し違うようなので,ご参考までに方針ベースですが書いておきましょうか。
いずれにせよ,この問題は数学的に特に面白いという感じもしないので,
プログラムに頼るのが正解のように思います。

uch*n*an  
No title

m を自然数として,
n(n + x) = m^2,m^2 - n^2 = nx,(m + n)(m - n) = nx
GCD(m,n) = g,GCD(a,b) = 1,m = ga,n = gb,とおいて,
(ga + gb)(ga - gb) = gbx,g(a + b)(a - b) = bx
GCD(a,b) = 1 なので g = kb とおけて,
k(a + b)(a - b) = x,m = kab,n = kb^2
ここで,GCD(a + b,a - b) = GCD(2b,a - b) = 1 又は 2,なので,
a + b = 奇数 かつ a - b = 奇数 かつ a + b と a - b は共通因数をもたない
又は
a + b = 偶数 かつ a - b = 偶数 かつ a + b と a - b の共通因数は 2 だけ
となります。これに注意して x を三つの数の積に分けます。

uch*n*an  
No title

後は,x = 2^c * p * q * r * …,c は 0 以上の整数,p 以下は 1 を含む奇素数,として,
いい加減なのですが,
p 以下の奇素数の個数が少ないほど,奇素数の分配のパターンが減り c が大きくなる,
p 以下の奇素数に同じものがある場合は,奇素数の分配のパターンが減り c が大きくなる,
p 以下の奇素数に同じものがない場合は,奇素数の値が小さい方が有利で,
そこらをもとにこれらのトレードオフを試行錯誤で調べて,
2^6 * 3 * 5 = 960,2^3 * 3 * 5 * 7 = 840,2^0 * 3 * 5 * 7 * 11 = 1155
を求めました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ブロッコリーの花ですが、菜の花と似ています。
黄色の花に暖かさを感じますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
どんな場合に条件を満たすかを確かめるのが面倒な問題でした。
それから、整数列大辞典にもあるのですか。
同じような事を先人が考えているのですね。
ただ、f(102) までしかなければ解答には役立ちませんでしたね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るようにブロッコリーの花です。
これから野菜の花も咲き始めますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
面倒な問題だったと思います。
正解者一覧の人数で大体の難易が分かります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
野菜の花もなかなか素敵なものが多いです。
このような菜の花に似たのは多いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ボロッコリーは買ってきたものしか食べたことがありませんが、
仕事を引退してから、家庭菜園もいいかなと思っています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
菜の花は春の訪れを告げる花ですね。
ブロッコリーの花も似ていて春を感じます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
面倒な問題だったと思います。
数学的に面白いかどうかは別として、
xが奇数のとき半偶数のとき4の倍数のときの f(x) の
結果に何か不思議なものを感じました。