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[答841] 中点の存在する範囲

ヤドカリ

ヤドカリ



[答841] 中点の存在する範囲


 中心がC,半径が 29 の球面と CP=80 を満たす点Pがあります。

 Pを通る直線と球面の交点をA,Bとするとき、ABの中点Mが存在する範囲の面積は?

 ( Mが存在する範囲はある曲面の一部になります )


[解答]

 もとの球面を x2+y2+z2=r2 とします。

 CM⊥AB になるので、Mは CPを直径とする球面のうち、球Cの内部になります。

 CP=p>r,C(0,0,0),P(p,0,0),M(x,y,z) とすれば、CM⊥PM だから、

 ベクトル(x,y,z)⊥(x-p,y,z) 、x2-px+y2+z2=0 、

 x2+y2+z2<r2 と連立して、px<r2 、x<r2/p だから、

 Mの範囲は x2-px+y2+z2=0 の x<r2/p の部分です。

 半径が p/2 の球の大円の円周は πp ,この部分の幅は r2/p だから、

 球冠,球帯の面積の記事( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2309.html )により、

 面積は πr2 です。

 ( Pが球面の外部にあれば、その位置にかかわらず、面積は πr2 です )

 本問では r=29 だから 面積は 841π です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
真っ白な水仙・・美しいです。
雪中花がぴったり。。

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
真っ白な水仙が綺麗ですね!!

花芯まで真っ白で清楚な感じが素晴らしいですネ!!

ナイス♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

真っ白な スイセン 心地よい気持ちに慣れました ナイス☆

tsuyoshik  
No title

「<CMPが、いつもどこでも90度」に気づくのに時間がかかり、最初の内は、これは自分の領分を越えた問題と思いました。
MがCPを直径とする球の一部と理解したとき、少し前に球冠の表面積の算出に難儀をしたことが頭を過ぎり、前問をさかのぼり[823問]を見つけました。

「答はPの位置にかかわらず同じ、しかも元の球の断面積」きれいな問題と感心しました。

ひとりしずか  
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雪のように白いスイセン
ナイス☆

uch*n*an  
No title

確かに結果の美しい問題でしたね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
たしかに考えてみると不思議ですねぇ☆
Pが無限遠点のとき=Cを中心にした円の面積=π*r^2
Pが球Cの表面上のとき=半径(r/2)の球面の面積=4*π*(r/2)^2=π*r^2
ですねぇ…^^♪
球内部になったら…明らかに...直径CPの球の表面になりますね…
=4π(CP/2)^2=πCP^2
^^v…Orz~

ニリンソウ  
No title

まさか、まさか水仙ですか?
あまりにも綺麗で。。。
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
この水仙の品種名は「ガリル」だそうで、
白一色が目を引きますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
見慣れた日本水仙の方が気分はシックリしますが、
白一色が印象に残ります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
黄色の水仙には元気をもらえますが、
真っ白な水仙には気品のようなものを感じます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
この問題を作って綺麗な答にビックリしました。
球冠・球帯の面積の性質も面白いですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
雪の積もった時には目立たないかも知れませんね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
こんなに美しい答になるのは意外でした。
作問のときは答の数値を決めるために一般化して解きますが、
CPの距離が消えたのには驚きでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
CP→∞ でも同じ結果ですね。
このことで、面積一定なら、大円の面積と等しくなりますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
「ガリル」という品種の水仙です。
晩秋に咲き始めますが、今が綺麗だと思います。